Onzekerheidsprincipe van Heisenberg

[Math-E-Mad-X]

Eén gaatje niet nee, maar zodra je er een tweede gaatje bij maakt zie je wel interferentiepatronen waaruit blijkt dat het foton zich idd als een golf in alle richtingen voortplant.

kortom:

Het foton gaat dus niet zoals een puntdeeltje in een rechte lijn van het gaatje naar het scherm.

[reindern]

Maar als 'dingen' zich als golf voortplanten, hoe doe je dan een impulsmeting?

[Math-E-Mad-X]

Z'n golflengte meten! golflengte = impuls. De golflengte van het foton kun je afleiden uit het interferentiepatroon wat hij veroorzaakt (mits je 2 gaatjes gebruikt natuurlijk ).

[reindern]

Z'n golflengte meten! golflengte = impuls.

Zo kun je toch hooguit

\(|\vec{p}|\)

bepalen? Hoe meet ik de richting? Die is neem ik aan het meest van belang in het onzekerheidsprincipe van heisenberg. Als ik namelijk met een laser (golflengte=impuls staat vast) een foton op een scherm met 1 gat schiet, en ik merk later dat dit foton 'door' het gat gegaan is, zou ik immers nog altijd met terugwerkende kracht zowel impuls als plaats van het foton weten op het moment dat deze door het scherm ging.

[kotje]

reindern schreef:

Daarnaast (ik zal eens stoken ) kun je mogelijk best gelijktijdig een impuls en plaats aan een deeltje toekennen. Neem bijvoorbeeld een plaat met daarin een superklein gaatje en een stuk verder op een scherm. Je schiet hier een foton op af. Stel dat deze door het gat gaat op t=0 (dit is een positie meting, de impuls is dus niet meer duidelijk gedefinieerd en het deeltje zal (hierdoor?) alle kanten op kunnen vliegen: het deeltje kan overal het scherm raken verder op raken, en het vliegt dus niet in een 'bundel' rechtdoor). Als we nu vervolgens kijken waar het deeltje het scherm raakt, weten we ook de impuls van het deeltje op moment van inslaan (hij vliegt immers met de lichtsnelheid, en zijn richting is te bepalen door een lijn van het gaatje, naar de lichtvlek op het scherm te trekken). Omdat zijn impuls gedurende de vlucht van het gat naar het scherm niet meer verandert is (we bekijken als in een lege ruimte met naast de schermen geen potentiaalveld), is het volgens mij nu wel mogelijk om het deeltje op het moment dat het net uit het gat komt een zeer preciese plaats en impuls toe te kennen die volgens het onzekerheidsprincipe niet mag. Het is natuurlijk wel zo dat het niet mogelijk is een golffunctie op te stellen die deze beide eigenschappen met zo'n preciesie bevat maar waarom zou het niet mogen?

Gij hebt hier een sterk punt. Het foton is door een oneindig kleine opening gegaan( ge kent de plaats en ook de richting van de impuls(ge weet waar het deeltje inslaat). De grootte van de impuls van een foton is

\(p=\frac{h\nu}{c}\)

. Mijn vraag is nu kent ge ook de frequentie

\(\nu\)

. Er bestaat ook nog een andere uitdrukking van Schrödinger waarbij ge energie en tijd niet tegelijkertijd kunt meten met een willekeurige nauwkeurigheid en daar

\(E=h\nu\)

energie van fet foton is kent ge volgens mij niet de grootte van de impuls.

[Math-E-Mad-X]

Nogmaals: Tussen het gaatje en het scherm beweegt het foton niet in een rechte lijn, maar plant zich in alle richtingen tegelijk voort zoals een golf!!!

In quantummechanica wordt ieder deeltje beschreven door een functie. Deze functie geeft de kans aan om het deeltje op een bepaalde plek aan te treffen. De impuls van het deeltje wordt gegeven door de golflengte van de functie. Hiedoor is het theoretisch onmogelijk om tegelijk een plaats en een impuls aan het deeltje toe te kennen.

Een sinus functie heeft bijvoorbeeld een duidelijke golflengte, maar is uitgespreid in de ruimte, dus heeft geen duidelijke plaats. Voor een dirac-functie (een functie die overal nul is behalve op één plek) is het precies omgekeerd. Een functie kan gewoonweg geen plaats en golflengte tegelijk hebben.

Dit geldt voor alle deeltjes in de natuur en dus ook voor de fotonen van een laserstraal. Ik heb helaas te weinig vertand van lasers om je te vertellen hoe dat bij een laserstraal precies in zijn werk gaat.

[kotje]

Er bestaat ook nog een andere uitdrukking van Schrödinger waarbij ge energie en tijd niet tegelijkertijd kunt meten met een willekeurige nauwkeurigheid en daar  energie van fet foton is kent ge volgens mij niet de grootte van de impuls.

_________________

Ik bedoelde natuurlijk Heisenberg. Als men de grootte van de impuls wil meten moet men de grootte van de energie E kennen en die vormt samen met de tijd een duale grootheid. Men kan ze niet samen met een willekeurige nauwkeurigheid meten.

Dit als correctie op mijn antwoord op de vraag van reindern.

[Rudeoffline]

Er bestaat ook nog een andere uitdrukking van Schrödinger waarbij ge energie en tijd niet tegelijkertijd kunt meten met een willekeurige nauwkeurigheid en daar  energie van fet foton is kent ge volgens mij niet de grootte van de impuls.

_________________

Ik bedoelde natuurlijk Heisenberg. Als men de grootte van de impuls wil meten moet men de grootte van de energie E kennen en die vormt samen met de tijd een duale grootheid. Men kan ze niet samen met een willekeurige nauwkeurigheid meten.

Dit als correctie op mijn antwoord op de vraag van reindern.

De onzekerheid tussen E en t vind ik vaak wat wazig uitgelegd. Relativistisch is het vrij duidelijk, omdat je dan als viervectoren {E,p} en {t,x} hebt, maar veel teksten zijn in de niet-relativistische limiet nogal onduidelijk over die onzekerheid tussen E en t. Iemand als Griffiths heeft, vind ik, wel een goeie uitleg erover.

[reindern]

Beste Math-E-Mad-X,

In quantummechanica wordt ieder deeltje beschreven door een functie. Deze functie geeft de kans aan om het deeltje op een bepaalde plek aan te treffen. De impuls van het deeltje wordt gegeven door de golflengte van de functie. Hiedoor is het theoretisch onmogelijk om tegelijk een plaats en een impuls aan het deeltje toe te kennen.

Dat snap ik. Ik heb zelf ook al een aantal keer geschreven dat er geen toestand is die zowel eigentoestand van de impulsoperator als de plaatsoperator is.

Toch (en zoals eerder gezegd, ik ben wat aan het stoken) heb je me niet helemaal overtuigd. Ik zeg namelijk dat het mogelijk is om een deeltje met terugwerkende kracht op een bepaald moment zowel impuls als plaats toe te kennen (vergelijk met EPR waar je doordat je (volgens het argument) vrij bent in keuze impuls of plaats van het ene deeltje te meten ook in staat bent deze aan een ander deeltje toe te kennen). Vervolgens zeg jij dat het formalisme dit niet toelaat (of dat het formalisme geen uitspraken doet over plaats/impuls tussen metingen door omdat het zich dan niet in een eigentoestand bevindt) en dat het daarom niet mag. Dat is dus raar:

1) ik zeg, je kunt beide toekennen (in het verleden welliswaar) terwijl het formalisme dit niet toelaat. Hoe kan dit?

2) jij zegt: het formalisme laat het niet toe dus je redenatie is fout.

mogelijke oplossingen zouden wat mij betreft misschien kunnen zijn:

- plaats en impuls zijn niet eigenschappen van het deeltje, maar (macroscopische) eigenschappen van een deeltje in combinatie met de meetcontext (en dus het macroscopische meetapparaat). Dit is vast Kopenhaags.

- je kunt geen impuls meting doen. Alle metingen zijn plaatsmetingen. (Bohm mechanica)

[Math-E-Mad-X]

Beste Reindern,

ten eerste: Heel goed dat je blijft stoken! De grootste wetenschappelijke ontdekkingen zijn gedaan door mensen die door bleven stoken. En bovendien houdt het mij scherp. 8)

En nu het antwoord op je vraag: dat heb je zelf al gegeven!

plaats en impuls zijn niet eigenschappen van het deeltje, maar (macroscopische) eigenschappen van een deeltje in combinatie met de meetcontext (en dus het macroscopische meetapparaat). Dit is vast Kopenhaags.

Klopt als een bus en is inderdaad heel erg Kopenhaags.

Kijk het probleem met jou gedachtenexperiment waarbij je met terugwerkende kracht impuls aan het deeltje toekent is dat jou definitie van impuls niet helemaal klopt. Het probleem is dat het foton tussen de 2 schermen niet in een rechte lijn beweegt. Het feit dat we te maken hebben met "een lege ruimte met naast de schermen geen potentiaalveld" doet daar niets aan af.

Je kan natuurlijk wel een denkbeeldige rechte lijn tussen het gaatje en het inslagpunt trekken en dat vervolgens (de richting van) de impuls noemen, maar het probleem is dat de golffunctie pas verviel op het moment dat het foton het scherm raakte en dus pas op dat moment de plaats van inslag bekend werd. En dus kreeg het foton zijn impuls volgens jou definitie pas op het moment van inslag.

Stel t=0 is het moment waarop het foton door het gaatje gaat en t=1 is het moment waarop het foton inslaat:

Jij wil het foton een impuls op t=0 toekennen terwijl die impuls pas op t=1 vast ligt.

Als je dit experiment 100 keer op volledig identieke wijze herhaalt zal het foton telkens op een ander punt inslaan. Dus zal het foton volgens jou definitie op t=0 steeds een andere impuls hebben wat raar is omdat op t=0 de situatie telkens hetzelfde is.

De definitie die jij voor impuls gebruikt is voor wetenschappers daarom onbruikbaar. Bij de EPR paradox gaat het er om dat je plaats of impuls aan een ander deeltje toekent op hetzelfde moment. Das een andere situatie. Dit lijkt in tegenspraak met relativiteitstheorie maar daarom wordt het ook een paradox genoemd.

Ik hoop dat je nu overtuigd bent?

[reindern]

Ik snap je verhaal maar ik heb toch nog wat vragen.

- hoe meet je de impuls van een deeltje? Dit kan toch bijvoorbeeld in een bellenvat waarbij twee bellen de posities van een deeltje geven en de weg daartussen een maat is voor de impuls? (trouwens ook nog een leuk probleem, waarom gaat dat deeltje in een bellenvat rechtdoor, terwijl bij elke 'bel' = positiemeting de impuls toch weer volledig onbekend zou moeten zijn?)

- als je voor de kopenhaagse interpretatie kiest en zegt dat het deeltje dus nog plaats, nog impuls heeft tussen twee metingen en dus mijn semiklassieke verhaal onzin is (wat vast zo is), wat is dan een meting?

Stel t=0 is het moment waarop het foton door het gaatje gaat en t=1 is het moment waarop het foton inslaat:

Jij wil het foton een impuls op t=0 toekennen terwijl die impuls pas op t=1 vast ligt.

Als je dit experiment 100 keer op volledig identieke wijze herhaalt zal het foton telkens op een ander punt inslaan. Dus zal het foton volgens jou definitie op t=0 steeds een andere impuls hebben wat raar is omdat op t=0 de situatie telkens hetzelfde is.

Dat is niet helemaal waar. In mijn eerste post spreek ik over het moment dat het deeltje 'net door het gat is'. Omdat zijn positie zo sterk bepaald is op het moment dat het deeltje het gat verlaat, zal zijn 'impuls onzeker zijn' (volgens Heisenberg) en dus voor elk experiment anders zijn als het deeltje het gat net verlaat. (als je dus al over een impuls kan spreken).

De definitie die jij voor impuls gebruikt is voor wetenschappers daarom onbruikbaar. Bij de EPR paradox gaat het er om dat je plaats of impuls aan een ander deeltje toekent op hetzelfde moment. Das een andere situatie. Dit lijkt in tegenspraak met relativiteitstheorie maar daarom wordt het ook een paradox genoemd.

volgens mij is de EPR paradox dat je zowel de plaats als impuls van een deeltje met zekerheid kan weten zonder dat je enige interactie met dit deeltje ondergaat. De paradox is nu dat dit niet in de golffunctie terug te vinden is en dat daarom de quantummechanica onvolledig is. De SRT wordt gebruikt om aannemelijk te maken dat je niet door meten op een deeltje hier, instantaan invloed kan uitoefenen op een deeltje heel ver weg.

Ik dacht dat 'mijn' (het is vast al heel vaak bedacht) experiment ongeveer hetzelfde is, alleen geen ruimtelijke scheiding en keuzevrijheid in meten gebruikt, maar scheiding in 'tijd' (je doet een plaatsmeting, en vervolgens een impuls meting met terugwerkende kracht), die tot dezelfde conclusie zou kunnen leiden: de golffunctie is niet volledig. [/quote]

[Math-E-Mad-X]

hoe meet je de impuls van een deeltje

Bijvoorbeeld door het spectrum van interferentiepatroon te meten in het geval van 2 gaten/spleten. Maar verder heb ik geen flauw idee, ik ben theoreticus .

waarom gaat dat deeltje in een bellenvat rechtdoor, terwijl bij elke 'bel' = positiemeting de impuls toch weer volledig onbekend zou moeten zijn?

goeie vraag! weet ik zo gauw even het antwoord niet op. Waarschijnlijk komt het omdat zo'n positiemeting natuurlijk geen exacte positiemeting is. Je weet alleen ongeveer waar het deeltje is. Daardoor is de impuls ook niet volledig onbepaald. Ik denk dat een bellenvat zodanig onnauwkeurig is dat de impuls nog steeds vrij goed bepaald is. Het deeltje zal ook niet exact rechtdoor gaan. Bedenk dat het onzekerheidsprincipe iets is wat voornamelijk op de planck-schaal van toepassing is.

wat is dan een meting?

Wat mij betreft is een meting niets anders dan het vervallen van de golffunctie naar een eigentoestand. En dat hoeft volgens mij niet veroorzaakt te worden door een bewust denkend wezen. Waarom die golffunctie dan precies vervalt is volstrekt onduidelijk. (maar dit is eigenlijk vooral mijn eigen interpretatie)

Omdat zijn positie zo sterk bepaald is op het moment dat het deeltje het gat verlaat, zal zijn 'impuls onzeker zijn' (volgens Heisenberg) en dus voor elk experiment anders zijn als het deeltje het gat net verlaat. (als je dus al over een impuls kan spreken).

Nee, het verschil tussen de verschillende experimenten ontstaat pas op het moment dat de golffunctie vervalt naar een willekeurige eigentoestand, oftewel op het moment dat er een meting gedaan wordt, oftewel op het moment dat het foton inslaat op het tweede scherm. Zolang er geen meting gedaan wordt is de situatie steeds precies hetzelfde. Tussen de twee schermen in zal het foton zich in een superpositie van alle mogelijke impulsen bevinden.

volgens mij is de EPR paradox dat je zowel de plaats als impuls van een deeltje met zekerheid kan weten zonder dat je enige interactie met dit deeltje ondergaat. De paradox is nu dat dit niet in de golffunctie terug te vinden is en dat daarom de quantummechanica onvolledig is. De SRT wordt gebruikt om aannemelijk te maken dat je niet door meten op een deeltje hier, instantaan invloed kan uitoefenen op een deeltje heel ver weg.

Waar heb je dat vandaan Ik dacht dat de EPR paradox iets heel anders was. Neem een stilstaand deeltje dat op een gegeven moment vervalt in twee deeltjes die in tegenovergestelde richting van elkaar weg bewegen. Als je nu de impuls van het ene deeltje meet (laten we zeggen p) dan weet je vanwege de wet van behoud van impuls op exact hetzelfde moment dat het andere deeltje impuls -p heeft. Je hebt dus instantaan informatie over het andere deeltje verkregen wat in tegenspraak is met de relativiteitstheorie die zegt dat de informatie over het andere deeltje niet sneller dan met de lichtsnelheid bij de waarnemer terecht kan komen. Einstein bedacht deze paradox dan ook om de quantummechanica onderuit te halen.

De oplossing is overigens dat omdat de impuls voor de meting onbepaald is, je op deze manier wel informatie instantaan kan verkrijgen maar nooit kan versturen waardoor dit consistent blijft met relativiteit.

(maar ik kan me vergissen)

[Lathander]

Waarom zou het onmogelijk zijn om 2 mùetingen tegelijk te doen?

1 voor de positie en 1 voor de snelheid... beide werken progressief op elkaar in en laten elkaar weten wat en waar ze moeten meten, gebaseerd op vorige gegevens...

[snmsee]

Waarom zou het onmogelijk zijn om 2 metingen tegelijk te doen?  

1 voor de positie en 1 voor de snelheid... beide werken progressief op elkaar in en laten elkaar weten wat en waar ze moeten meten, gebaseerd op vorige gegevens..

Dat heeft te maken met het feit dat het hier om 'n golf-functie gaat. Bepaalde golven hebben nu een maal deze eigenschap.

[reindern]

Waar heb je dat vandaan ?

Nou, door het artikel te lezen

Ik dacht dat de EPR paradox iets heel anders was. Neem een stilstaand deeltje dat op een gegeven moment vervalt in twee deeltjes die in tegenovergestelde richting van elkaar weg bewegen. Als je nu de impuls van het ene deeltje meet (laten we zeggen p) dan weet je vanwege de wet van behoud van impuls op exact hetzelfde moment dat het andere deeltje impuls -p heeft. Je hebt dus instantaan informatie over het andere deeltje verkregen wat in tegenspraak is met de relativiteitstheorie die zegt dat de informatie over het andere deeltje niet sneller dan met de lichtsnelheid bij de waarnemer terecht kan komen. Einstein bedacht deze paradox dan ook om de quantummechanica onderuit te halen.  

Nee, dit is dus niet waar. Als ik namelijk een zwart en een wit balletje heb en ik geef er jou een (je mag niet kijken), en de ander hou ik en jij gaat naar new york, kijkt daar, dan weet je ook instantaan welke kleur ik heb. Instantaan informatie krijgen is dus niet echt raar of in tegenspraak met de SRT.

Het EPR argument is als volgt: Einstein en co definieren een element van fysische realiteit (EvFR). Een EvFR correspondeert met een grootheid van een systeem, als je met zekerheid kunt voorspellen wat de waarde van deze grootheid is, zonder het systeem te verstoren. Als ik dus zonder een deeltje te verstoren met 100% zekerheid kan voorspellen wat de impuls van een deeltje is (bij meten zal altijd de voorspelde impuls gevonden worden), dan moet impuls wel een EvFR zijn.

Nu neem je in het EPR experiment twee verstrengelde deeltjes die uit elkaar vliegen. Indien ik nu de plaats meet van het ene deeltje, weet ik wat de plaats is van het andere deeltje (en is dus een EvFR). Hetzelfde kan ik voor de impuls zeggen. Aanname is dus wel dat het andere deeltje (vanwege de SRT) niet verstoord kan worden door meten aan het ene deeltje. Einstein (en co) concluderen dus dat zowel plaats als impuls een EvFR is. Omdat in de quantummechanische beschrijving niet beide elementen voorkomen concluderen zij tenslotte dat de quantummechanica niet compleet is (een complete fysische theorie moet immers voor elk EvFR een tegenhanger in het formalisme hebben).