Je mag beide als uitgangspunt nemen, het is een identieke situatie.
Ja, maar je legt nu dus nog steeds niet vast wat je met "met snelheid v op elkaar afkomen bedoelt". Ik blijf er even vanuit gaan dat je bedoelt dat beiden met dezelfde snelheid in het inertiaalstelsel van de derde persoon op elkaar afkomen.
Dus de persoon die naar rechts gaat en er vanuit gaat dat hij stilstaat ziet het andere horloge achterlopen t.o.v. zijn horloge.
Nee.
Even tussendoor: Ik ga ervan uit dat je snapt dat 'zien' in dit geval niet 'zien' is. De bewegende klok vergelijkt zijn tijd met die van een klok die op zijn locatie aanwezig is maar een kopie is van de klok van de persoon in het andere stelsel. Als dit niet duidelijk is, zeg dat dan onmiddelijk, want anders is er een kleine kans dat je dit ooit gaat begrijpen.
Dus de persoon die naar links gaat n er vanuit gaat dat hij stilstaat ziet het andere horloge achterlopen t.o.v. zijn horloge.
Nee.
Nog een keer uitvoerig:
We introduceren de volgende notaties:
A,B,C : Gebeurtenissen A, B en C.
1,2,3 : Personen 1, 2 en 3.
\(x_{\Xi}\)
: de positie die persoon i toekent aan gebeurtenis X.
\(t_{\Xi}\)
: de tijd die persoon i toekent aan gebeurtenis X.
\(\Delta x_{XYi}\)
: de afstand die persoon i meet tussen de gebeurtenissen X en Y.
\(\Delta t_{XYi}\)
: de tijd die persoon i meet tussen de gebeurtenissen X en Y.
\(L_{ij}\)
: de afstand die persoon j rechts van persoon i zit in het stelsel van persoon i (
\(L_{ii}\)
is natuurlijk 0).
\(v_{ij}\)
: de snelheid waarmee persoon i de persoon j naar rechts ziet bewegen (
\(v_{ii}\)
is natuurlijk 0).
Alle bepalingen die gedaan worden worden gedaan aan de hand van locale klokken. Als de gebeurtenis dus op een andere plek gebeurt dan waar de waarnemer in dat systeem zit dan wordt de klok gebruikt die synchroon loopt met de klok van de waarnemer maar wel op die plek aanwezig is. Dit voorkomt dat je rekening moet houden met dat het licht van een gebeurtenis eerst nog bij de waarnemer moet komen.
De bewegingen en gebeurtenissen bevinden zich in deze uitleg allemaal op een lijn. Er zijn drie personen. De eerste persoon bevindt zich tussen de twee andere personen. Hij heeft de lijn geprepareerd door er (in zijn stelsel) drie markeringspunten op aan te brengen. Deze punten bevinden zich op x=-L, x=0 en x=L. Persoon 1 neemt de volgende drie gebeurtenissen waar:
Gebeurtenis A:
\(t_{A1} = 0\)
,
\(x_{A1} = -L\)
Dit is de gebeurtenis dat persoon 2 voorbij het meest linker markeringspunt komt met een snelheid
\(v_{12} = v\)
.
Gebeurtenis B:
\(t_{B1} = 0\)
,
\(x_{B1} = L\)
Dit is de gebeurtenis dat persoon 2 voorbij het meest linker markeringspunt komt met een snelheid
\(v_{13} = -v\)
.
Gebeurtenis C:
\(t_{C1} = \frac{L}{v}\)
,
\(x_{C1} = 0\)
Dit is de gebeurtenis dat de personen 1, 2 en 3 bij elkaar komen.
De eerste persoon heeft nu verder nog verder wat ideeen over die afstanden en tijdsverschillen tussen de diverse gebeurtenissen:
\(\Delta x_{AB1} = 2 L\)
,
\(\Delta t_{AB1} = 0\)
,
\(\Delta x_{BA1} = -2 L\)
,
\(\Delta t_{BA1} = 0\)
,
\(\Delta x_{AC1} = L\)
,
\(\Delta t_{AC1} = \frac{L}{v}\)
,
\(\Delta x_{BC1} = -L\)
en
\(\Delta t_{BC1} = \frac{L}{v}\)
Nu gaan we de tijd en plaats bekijken die persoon 2 aan deze drie gebeurtenissen toeschrijft. Persoon 2 zet zijn klok op 0 op het moment van gebeurtenis A, dus:
\(t_{A2} = 0\)
,
\(x_{A2} = 0\)
We kunnen nu op basis van de gegevens van persoon 1, de gegevens voor persoon 2 uitrekenen:
\(\Delta x_{AB2} = \gamma (\Delta x_{AB1} - v_{12} \Delta t_{AB1}) = \gamma (2 L - v 0) = \gamma 2 L\)
\(\Delta t_{AB2} = \gamma (\Delta t_{AB1} - \frac{v_{12} \Delta x_{AB1}}{c^2}) = \gamma (0 - \frac{v 2 L}{c^2}) = -\gamma \frac{2 L v}{c^2}\)
Hier is het dus meteen duidelijk dat persoon 1 en persoon 2 andere ideeen hebben over hoeveel tijd en ruimte er tussen beide gebeurtenissen zit. Persoon 1 denkt dat gebeurtenis A en B op hetzelfde moment in de tijd gebeuren. Persoon 2 denkt van niet. Hij denkt dat gebeurtenis B voor gebeurtenis A plaatsvindt in de tijd.
Persoon 2 zal als tijd en plaats vinden:
\(x_{B2} = x_{A2} + \Delta x_{AB2} = 0 + \gamma 2 L = \gamma 2 L\)
\(t_{B2} = t_{A2} + \Delta t_{AB2} = 0 + -\gamma \frac{2 L v}{c^2} = -\gamma \frac{2 L v}{c^2}\)
Voor gebeurtenis C geldt:
\(\Delta x_{AC2} = \gamma (\Delta x_{AC1} - v_{12} \Delta t_{AC1}) = \gamma (L - v \frac{L}{v}) = 0\)
\(\Delta t_{AC2} = \gamma (\Delta t_{AC1} - \frac{v_{12} \Delta x_{AC1}}{c^2}) = \gamma (\frac{L}{v} - \frac{v 2 L}{c^2})\)
*het lijkt erop dat ik een max te pakken heb of zo... ik ga verder in de volgende post*
), dus wees nu even precies: Wat snap je niet aan hetgeen dat ik net heb uitgelegd?
