product cosinussen

[mo]

Vind

\(\cos{x\frac{2}}\cos{x\frac{4}}...\cos{2\frac{x^n}}\)

voor

\(\nrightarrow+\infty\)

, als we weten dat

\(x=\pi\frac{2}\)

[Morzon]

wat is de bedoeling?

[PeterPan]

Ik heb het gevonden

[mo]

Kan iemand dit tegoei in Latex zetten ?

Vind cos(x/2).cos(x/4)...cos(x/2^n) voor n gaande naar +oneindig, als je weet dat x=pi/2.

Peterpan, zeg het eens

[Phys]

Vind

\(\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}\times\cos{\left(\frac{x}{4}\right)}\times\cdots\times\cos{\left(\frac{x}{2^n}\right)}\)

voor

\(\nrightarrow\infty\)

, waarbij

\(x=\frac{\pi}{2}\)

oftewel

\(\prod_{n=1}^\infty \cos{\left(\frac{x}{2^n}\right)} \)

(klik om de code te zien! jij gebruikte de frac in ieder geval verkeerd. x/2 is frac{x}{2})

[Donvanelli]

Dus de echte vraag is:

\(\prod_{n=1}^\infty \cos{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} \)

[TD]

Hint:

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a \Leftrightarrow \cos a = \frac{{\sin 2a}}{{2\sin a}}\)

[raintjah]

Ik heb het gevonden              

[OFFTOPIC]

Hahaha

[/OFFTOPIC]

[mo]

Hint:

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a \Leftrightarrow \cos a = \frac{{\sin 2a}}{{2\sin a}}\)

Idd, die factor

\(\frac{1}{2}\)

suggereert dat. Het antwoord is dan natuurlijk

\(\frac{1}{2}\)

.

[Rogier]

Kun je hier nog wat mee:

\(\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}) = \frac12 \sqrt{\underbrace{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}_{n\times}}\)

[mo]

Hoe kom je eraan ?

[Rogier]

\(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\)

\(\Rightarrow \cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))\)

\(\Rightarrow \cos(2x)=2\cos^2(x)-1\)

\(\Rightarrow \frac{\cos(2x)+1}{2} = \cos^2(x)\)

\(\Rightarrow \cos(x) = \sqrt{\frac{\cos(2x)+1}{2}}\)

Verder geldt

\(\cos(\frac{\pi}4)=\frac12\sqrt{2}\)

en dat geeft met bovenstaande:

\(\cos(x) = \frac12\sqrt{\alpha} \Longrightarrow \cos(\frac{x}2) = \sqrt{\frac{\frac12\sqrt{\alpha}+1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha}+2}4}=\frac12\sqrt{\sqrt{\alpha}+2}\)

De limiet uit de OP is overigens

\(\frac{2}{\pi}\)

(zie o.a. hier bij nr 64).

[PeterPan]

Wat is

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)

[raintjah]

Wat is

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)

Onbepaalde vorm? Want:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \cdot \left(2-\lim_{n \rightarrow \infty} \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\right)=\)

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \cdot(2-2)=+\infty\cdot 0\)

?

[PeterPan]

Kun je hier nog wat mee:

\(\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}) = \frac12 \sqrt{\underbrace{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}_{n\times}}\)

Ja, kijk maar:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)

\( = \lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 -2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})\right) = ?\)