product cosinussen

[Morzon]

0

[PeterPan]

0

Mis

[Rogier]

\(\frac{\pi^2}4\)

dan?

[raintjah]

\(\frac{\pi^2}4\)

dan?

Hoe kom je daaraan?

[Phys]

Ben ook benieuwd, want het is wel goed

[zijtjeszotjes]

schrijf 4^n als 2^(2n) ..

en met een leuke deling kan je dan Hospital gebruiken.. ( 2 keer volgens mij) ik heb het niet uitgevoerd maar het ziet zo uit..

[Rogier]

Hoe kom je daaraan?

Onder de eerste link op Mathworld waar ik naar verwees (hier) staat bij 65 iets wat hier erg op lijkt (kwadrateren en delen door 4).

[PeterPan]

Schrijf ter vereenvoudiging

\(x_n = \frac{\pi}{2^{n+1}}\)

Dan is

\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 -2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})\right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi^2}{4} \frac{2 -2\cos(x_n)}{x_{n}^2}\)

\( = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi^2}{4} \frac{2 -2\cos(x_n)}{x_{n}^2}\frac{1 + \cos(x_n)}{2} =\)

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi^2}{4} \left(\frac{\sin(x_n)}{x_{n}}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4}\)