Delen door nul gelul?!?

[CasperDavelaar]

Ik las in De Volkskrant van zaterdag een interessant stukje over het getal nul.

In dat stukje stond ook: "Delen door nul is gelul" maar is dit nu wel zo?

Als ik het eeuwenoude basisschool rekenvoorbeeldje erbij pakken met de óó zo bekende appels dan kom ik uit op:

Stel je hebt 10 appels in een mand je bent met zijn tweëen en de appels moeten precies gelijk verdeeld worden. Dan kom ik tot het simpele rekensommetje:

10/2=5

ieder krijgt dus 5 appels.

Als ik dezelfde manier toepas met het getal nul (0)

Dan kom ik uit op:

10/0=0

Er zijn immers geen mensen om die appels de verdelen dus 'ieder' krijgt 0 appels.

[PeterPan]

10/5=2 rest=0

12/4=3 rest=0

10/0=? rest=10 voor elke ?

Je kunt dus niet door 0 delen, want het resultaat blijft dat je rest 10 hebt, dus niet gedeeld hebt.

Delen door 0 is flauwekul

[Morzon]

hoe kan je nou delen met niemand?

[zijtjeszotjes]

hoe kan je nou delen met niemand?

mmmmmmmmmmmmmm?

rare benadering..

delen met niemand is hetzelfde als delen met jezelf. toch?

[Phys]

hoe kan je nou delen met niemand?

mmmmmmmmmmmmmm?

rare benadering..

delen met niemand is hetzelfde als delen met jezelf. toch?

Als we toch het analogon met de appels willen gebruiken, doen we het ook volledig:

Er zijn 10 appels. Een buitenstaander, een onafhankelijk persoon, moet deze eerlijk verdelen over 2 personen. De buitenstaander mag zelf geen appels houden.

10/2=5 (als de buitenstaander zelf een of meer appels houdt, klopt dit namelijk ook niet).

Nu hetzelfde, maar over nul personen. Hij mag weer zelf geen appels houden. ONMOGELIJK (want waar gaan de 10 appels dan heen: niet naar zichzelf én niet naar iemand anders).

In de redenering van TS gaat het dus fout, omdat hij weglaat

"de buitenstaander mag geen appels zelf houden"

wat overeenkomt met de rest van PeterPan.

[Rogier]

In dat stukje stond ook: "Delen door nul is gelul" maar is dit nu wel zo?

Ja, dat is echt zo. Jouw voorbeeld met de appels gaat op als je 0 deelt door iets anders. Bijvoorbeeld 0 appels verdelen over 2 personen:

0/2 = 0, oftewel ieder krijgt nul appels.

Maar voor iets/0 (en ook 0/0 trouwens) valt geen enkele zinnige uitkomst te geven.

Er moet trouwens ook gelden dat als a/b=c, dat dan ook b\(\times\)c = a. Dat lukt niet als b=0.

[TD]

Als je deelt door iets heel kleins, krijg je iets heel groots.

10/10 = 1

10/1 = 10

10/0.1 = 100

10/0.01 = 1000

...

Hoe dichter je bij 0 komt, hoe groter je uitkomst zal zijn - 0 is dus wel een heel vreemde uitkomst.

Maar delen door 0 zelf, dat lukt niet. Zoals Rogier zegt, als a/b gelijk is aan c, dan moet b*c gelijk zijn aan a.

[Bert]

Ik las in De Volkskrant van zaterdag een interessant stukje over het getal nul.

In dat stukje stond ook: "Delen door nul is gelul" maar is dit nu wel zo?

Het artikel in de volkskrant was veel genuanceerder dan deze quote doet vermoeden. Er wordt in het stukje gesteld dat dit het antwoord van de leraar op de middelbare school is. In bepaalde contexten kan het delen door nul wel degelijk maar daarmee voer je ook oneindig toe aan je getallen verzameling (bij bepaalde verhandelingen over complexe getallen is dat heel gebruikelijk).

Het artikel is te vinden op http://extra.volkskrant.nl/betacanon/

[qrnlk]

a/b=c iff a = bc

10/0=x iff 0x=10 ... Er bestaat geen getal x die hieraan kan voldoen.

[Bert]

a/b=c iff a = bc

10/0=x iff 0x=10 ... Er bestaat geen getal x die hieraan kan voldoen.

DAt hangt sterk van je definitie af. Een stukje uit het artikel uit de volkskrant:

De Indiase wiskundige Brahmagupta, die rond 625 als eerste rekenregels voor nul en negatieve getallen opschreef, vond dat deling door nul een breuk met noemer nul opleverde. Een elegante oplossing, maar hij vertelde er niet bij hoe je zulke breuken bij andere getallen moet optellen. ‘Delen door nul is flauwekul’, vatten veel moderne wiskundeleraren de discussie samen, wat in elk geval beter rijmt. De waarheid is dat je in veel situaties wel degelijk betekenis kunt geven aan ‘1 gedeeld door 0 is oneindig’, maar dat die betekenis erg van de situatie afhangt. Er is maar 1 nul, maar er zijn vele soorten oneindig.

Als je rationele getallen definieert met behulp van getallen paren (a,b) met de volgende gedefinieerde rekenregels voor vermenigvuldiging en optelling:

(a,b)(c,d)=(ac,bd)

en

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),

en de volgende equivalentierelatie voor alle paren ongelijk aan (0,0):

(a,b)=(c,d) ad=bc,

dan is er geen enkele reden om het getal (a,0) (a<>0) uit te sluiten. Het delen door 0 wordt daarmee mogelijk behalve wanneer je 0 door 0 deelt. Het getal (a,0) met a<>0 staat in dit systeem voor oneindig (er is daarbij geen verschil tussen -oneindig en +oneindig).

Bij rationele getallen heb je er niet zoveel aan want het vereenvoudigt de wiskunde niet wezenlijk. Bij complexe getallen is het echter heel handig om oneindig en het delen door 0 toe te laten. De wiskunde wordt er aanmerkelijk door vereenvoudigd en dat is eigenlijk precies de reden waarom 0 is ingevoerd bij de reele getallen.

[Rov]

Even offtopic: rationele getallen bestaan niet, rationale wel .

[TD]

Om Bert aan te vullen, ook in de complexe getallen (die je als paren reële getallen met een optelling, vermenigvuldiging en gelijkheid kan invoeren) is het in principe mogelijk om deling door 0 te definiëren als oneindig, ttz: het is er zinniger dan in de reële getallen. In tegenstelling tot bij de reële getallen, heb je er immers geen +/- oneindig. Er is namelijk geen orde op C, dus er is daar enkel sprake van "(complex) oneindig".

[Math-E-Mad-X]

haha, ik zie dat het stukje geschreven is door een bekende van me! Ik wist helemaal niet dat hij voor de volkskrant schreef.

[Bert]

Even offtopic: rationele getallen bestaan niet, rationale wel .

Volgens mijn woordenboek is rationaal een germanisme voor rationeel. Voorts kom ik zowel in mijn (ik geef toe oude) boeken als op internet de term rationeel tegen als aanduiding voor breuken.

[Bert]

Om Bert aan te vullen, ook in de complexe getallen (die je als paren reële getallen met een optelling, vermenigvuldiging en gelijkheid kan invoeren) is het in principe mogelijk om deling door 0 te definiëren als oneindig, ttz: het is er zinniger dan in de reële getallen. In tegenstelling tot bij de reële getallen, heb je er immers geen +/- oneindig. Er is namelijk geen orde op C, dus er is daar enkel sprake van "(complex) oneindig".

Ook bij de definitie die ik heb gegeven is er geen onderscheid tussen -oneindig en +oneindig. Dat blijkt uit het feit dat (-1,0) en (1,0) volgens de door mij gegeven definitie equivalent zijn maar ook uit het feit dat (1,0)+(1,0)=(0,0) (dus onbepaald).