verdelen van een cirkel in 2 stukken

[eendavid]

mooi. het verloren punt verdwijnt in de oneindigheid.

Dit kan je doortrekken tot een eindig aantal punten. ofwel verzameling uitbreiden, ofwel als 2 punten eenzelfde verzameling vergen stel je 2 rotaties samen. Intuïtief lukt het dan ook nog voor aftelbaar oneindige verzamelingen. Bestaan er niet-aftelbare verzamelingen waarvoor dit lukt? Dat zou toch heel sterk zijn.

[PeterPan]

Intuïtief lukt het dan ook nog voor aftelbaar oneindige verzamelingen. Bestaan er niet-aftelbare verzamelingen waarvoor dit lukt? Dat zou toch heel sterk zijn.

Voor overaftelbare in vele gevallen ook vermoed ik.

Zij V₀ een aftelbare verzameling radialen die horen bij onderling verschillende punten van de eenheidscirkel.

Verwijder deze punten (of eigenlijk de punten behorende bij deze radialen) uit de eenheidscirkel.

De verzameling

\(X = {\frac{a-b}{c} | a,b \in V_0 \wedge c \neq 0, c \in \zz }\)

is dan aftelbaar.

Kies

\( z \notin X\)

Bekijk de verzamelingen z+V₀, 2z + V₀, 3z + V₀ ... .

De vereniging van deze verzamelingen noem ik U (en de daarmee overeenkomende punten op de eenheidscirkel ook).

Punten van de eenheidscirkel die er niet toe behoren V.

Draai U over een hoek van z radialen met de klok mee, dan gaat de verzameling z+V₀ over in V₀; 2z+V₀ over in z+V₀ enz.

Merk op dat vanwege het feit dat

\( z \notin X\)

is de verzamelingen mz+V₀ en nz+V₀ disjunct zijn.

Na de draaiing hebben we weer een volledige cirkel.