Bepaalde Integraal

[kotje]

Toon aan:

\(\int_0^1\frac{x^n-1}{\ln{x}} dx=\ln{(n+1)} \mbox{waarbij} \ni\nnn\)

[PeterPan]

Substitutie van

\(x = e^{-t}\)

geeft

\(\int_0^1\frac{x^n-1}{\ln{x}}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t} - e^{-(n+1)t}}{t}dt\)

De integrand is begrensd op \((0,\infty)\).

Bekijk nu voor x>0

\(F(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t} - e^{-xt}}{t}dt\)

Dan is

\(F'(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{te^{-xt}}{t}dx = -\frac{e^{-xt}}{x} |_{0}^{\infty} = \frac{1}{x}\)

Dan is

\(F(x) = \ln(x) + C\)

Daar F(1) = 0 is C = 0 en

\(\int_0^1\frac{x^n-1}{\ln{x}}dx = \ln(n+1)\)

[kotje]

Ik heb die integraal ergens opgemerkt. Ik vond de oplossing elegant daarom heb ik hem gesteld om te kijken als iemand hem vond en ik meen dat PeterPan een manier van oplossen gevonden heeft. Men kan het ook zo doen:

\(\Phi(\alpha)=\int_0^1\frac{x^{\alpha}-1}{\ln{x}} dx\)

Leidt nu af naar

\(\alpha\)

met Leibnitz:

\(\Phi '(\alpha)=\int_0^1\frac{x^{\alpha}\ln{x}}{\ln{x}} dx=\frac{1}{\alpha+1}\)

\(\Phi(\alpha)=\ln({\alpha+1})\)

Hier

\(\alpha=n \mbox{geeft gevraagde}\)

[TD]

Mooi, die oplossing heb je zelf gevonden of die stond erbij?

[kotje]

Zo slim ben ik niet.

[TD]

Ik had je hier ooit al eens zien vragen over die regel van Leibniz, het had toch gekund

[kotje]

Natuurlijk de uitleg die erbij stond was summier, ik heb er wel de rest bijgevoegd.

[PeterPan]

Volgens mij is je bewijs niet correct.

Je hebt bewezen dat

\(\Phi(\alpha)=\ln({\alpha+1}) + C\)

Essentieel is dat je nu nog moet aantonen dat C = 0 (wat niet vanzelfsprekend is).

[Phys]

Maar uit

\(\Phi(\alpha)=\int_0^1\frac{x^{\alpha}-1}{\ln{x}} dx\)

volgt toch dat

\(\Phi(0)=\int_0^1 0 dx=0\)

dus omdat

\(\Phi(\alpha)=\ln({\alpha+1}) + C\Rightarrow\)

\(\Phi(0)=\ln({0+1}) + C=0\)

Oftewel C=0.

Right?

[kotje]

PeterPan heeft gelijk, ik hoop dat hij tevreden is met de uitleg van Phys.

[PeterPan]

Ja, triviaal inderdaad.