Wanneer is een functie integreerbaar?

[John Nash]

Dus

{f(x)= 2 for x=irrational

{f(x)= 0 for x=rational

Is niet integreerbaar omdat de verzameling discontinuteitspunten niet verwaarloosbaar is?Correct?

Dank voor de uitleg!

[evilbu]

Dus

{f(x)= 2 for x=irrational  

{f(x)= 0 for x=rational

Is niet integreerbaar omdat de verzameling discontinuteitspunten niet verwaarloosbaar is?Correct?

Dank voor de uitleg!

Je moet wel een interval geven, laat ons bijvoorbeeld [0,1] nemen.

Deze functie is op dat interval niet Riemannintegreerbaar, want ie is OVERAL DISCONTINU

Deze functie is op dat interval wel Lebesgueintegreerbaar, met integraal : 2

[Rogier]

Dus

{f(x)= 2 for x=irrational  

{f(x)= 0 for x=rational

Is niet integreerbaar omdat de verzameling discontinuteitspunten niet verwaarloosbaar is?Correct?

Dank voor de uitleg!

Je moet wel een interval geven, laat ons bijvoorbeeld [0,1] nemen.

Deze functie is op dat interval niet Riemannintegreerbaar, want ie is OVERAL DISCONTINU

Deze functie is op dat interval wel Lebesgueintegreerbaar, met integraal : 2

Hmm, ik twijfel nu toch, want deze functie verschilt slechts in aftelbaar veel punten (namelijk

\({x\in\qq:0\leqx\leq1}\)

) van de constante functie g(x)=2, en die is uiteraard integreerbaar.

[evilbu]

Zeer goeie opmerking, maar het toont aan hoe verraderlijk deze materie kan zijn, het is niet omdat een functie slechts op een aftelbaar aantal punten na verschilt van een constante, ie ook enkel discontinu is in die punten.

U moet eens met de epsilon delta definitie de continuïteit trachten te bewijzen van die functie in een irrationaal getal in dat interval. Het zal u niet lukken.

[TD]

Zie voor een gelijkaardige voorbeeld, deze pagina.

[Rogier]

En deze:

\(f(x) = \left{ \begin{array}{\ll} \frac{1}{q} & (x\in\qq, \textrm{ waarbij } x=\frac{p}{q} \textrm{ met } p\in\zz,q\in\nn^{*} \textrm{ en q mi\nimaal}) 0 & (x\notin\qq) \end{array} \right.\)

Dus bijvoorbeeld f(0.3)=1/10, f(-0.4)=1/5, en f( )=0.

[TD]

Deze lijkt me Riemann integreerbaar omdat de functie (nu wel) enkel in rationale punten discontinu is.

[Rogier]

Klopt, vond het wel een interessant voorbeeld, een functie die op geen énkel interval continu is, en toch integreerbaar.

[PeterPan]

Interessant, nooit over nagedacht. Weet je een voorbeeld van een functie die wel primitiveerbaar is maar niet integreerbaar?

f(x) = x² sin(1/x²) als x 0

f(0) = 0.

f is dan differentieerbaar en f '(0) = 0

Als x 0, dan is f '(x) = 2xsin(1/x²) -(2/x)cos(1/x²).

Merk op dat f ' niet begrensd is in de omgeving van 0,

dus niet integreerbaar (maar wel primitiveerbaar, n.l. primitieve is f).

N.B. Er zijn ook voorbeelden te geven van begrensde primitiveerbare functies die niet integreerbaar zijn. Van die voorbeelden heb ik hier eerder gewag gemaakt.

[PeterPan]

Kun je ook een voorbeeld geven van een functie die integreerbaar is en niet primitiveerbaar en die toch geen sprongen in de grafiek vertoont,

d.w.z. als p ligt tussen f(a) en f(b), dan is er een c tussen a en b met f© = p (maak tekeningetje).

[PeterPan]

Zeg

\(f(x)=\left{{ \begin{array}{cc}\frac{1}{q} & \mbox{ als }x=\frac{p}{q}\mbox{ waarbij p en q geen gemene delers hebben} 0 & \mbox{als }x\mbox{ is i\rrationaal} \end{array}}\)

In welke punten is deze functie continu en in welke discontinu.

Is f Riemann-integreerbaar, en zo ja wat komt er uit de integraal van 0 tot oneindig?

[TD]

Tenzij ik iets over het hoofd zie, is dat precies het voorbeeld op het begin van deze pagina.

[PeterPan]

Ja dat zag ik iets te laat.

Enfin, de functie is continu in de irrationale getallen en discontinu in de rationale. De integraal is 0.