Vraagstuk Countable and Uncountable sets

[Jessie88]

Beste wiskunde geleerden,

ik heb het volgende vraagstuk waar ik helemaal niet uitkom, wie kan me helpen:

Prove that the set of all finite subsets of N is countably infinite

Hierbij kan je gebruik maken van het vraagstuk erboven:

What is wrong with the foollowing argument, wich purports to show that N

\(\sim\)

P(N) defined by f(n)={n} is one to one.

Define g: P(N) -> N as follows: Given A element van P(N), set G(a)=2^(a1)*3^(a2)*5^(a3)...Pn^(an)..., where an is the nth smallest member of A and Pn is the nth prime number. By the fundamental Theorem of Arithmetic, g is a one-to-one function and so the schroeder-bernstein Theorem applies.

Alleen dit vraagstuk begrijp ik ook niet helemaal, ik hoop dat jullie me kunnen helpen!

Sorry voor mijn slechte Latex gebruik ( N is de natuurlijke getallen verzameling en P(N) de machtsverzameling)

Alvast bedankt!!!

[PeterPan]

Ik lees geen Engels , dus geef ik maar aan hoe ik het zou bewijzen.

Bekijk de functie f: P(N) -> N

f({a₁,a₂,a₃, ... , a_n}) =

p_a1 p_a2 ... p_an

p₁=2, p₂=3 enz. zijn de priemgetallen in volgorde van grootte.

Duidelijk is dat f een injectie is van P(N) in N.

(Zelfs een bijectie van P(N) naar de kwadraatvrije positieve gehele getallen groter dan 1).

Dus P(N) is aftelbaar oneindig.