Vervolg van mijn bericht van 14 januari. Verwijzijngen naar vergelijkingen (1) en (2) zijn naar dat bericht.
Ik zou echter ook vraagtekens willen zetten bij het 'gered worden' van de Aarde op deze manier. Het lijkt me dat er inderdaad een en ander gebeurt wanneer een ster van, zeg, 1 zonsmassa dichter langs de Aarde beweegt dan de Zon (en waarschijnlijk ook op veel grotere afstand: de kans neemt kwadratisch toe met de afstand, dus als 10 A.E. voldoende is, wordt de kans 100 maal zo groot). De vraag echter is ten eerste
of de Aarde blijft 'plakken' (in een baan om die ster komt), ten tweede, als dat gebeurt,
hoe dat gebeurt en tenslotte wat er gebeurt als de Aarde niet blijft plakken.
Een alles bepalende rol speelt hierbij de snelheid van de passerende ster t.o.v. van de Aarde. Je kunt je waarschijnlijk voorstellen dat als een ster voldoende dicht langs een planeet beweegt, dat deze in theorie kan blijven 'plakken', maar als de ster te snel beweegt, lukt dat weer niet (tenzij de ster dichter langs de planeet beweegt). Vergelijk dat als je de Aarde plotselig een tweemaal hogere baansnelheid zou geven, de zwaartekracht van de Zon niet sterk genoeg zou zijn om de planeet 'vast te houden' en de Aarde zou dus kunnen ontsnappen aan de zwaartekracht van de Zon.
De Aarde zou in dit geval een hyperbolische baan gaan beschrijven in plaats van een ellips; een open in plaats van gesloten baan, net als sommige kometen. De manier om te bepalen of een baan open of gesloten is (dus een hyperbool of een parabool) is door te kijken naar de totale (potentiele + kinetische) energie van de planeet:
\(E_\mathrm{\tot} = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{k\in} = \frac{-G M_\odot M_\oplus}{r} + \frac{1}{2} M_\oplus v_\mathrm{b}^2, ~~~~~~~~~~ (3)\)
waarin
E de energie voorstelt,
G de gravitatieconstante,
M de massa,
r de afstand en
\(v_b\)
de baansnelheid. Het symbool
\(\odot\)
staat voor de Zon,
\(\oplus\)
voor de Aarde. We hebben hier impliciet aangenomen dat
\(M_\odot >!> M_\oplus\)
, zodat alleen de Aarde beweegt en de Zon dus niet bijdraagt aan de kinetische energie. Als
\(E_\mathrm{\tot} < 0\)
is de baan een ellips, als
\(E_\mathrm{\tot} = 0\)
een parabool en als
\(E_\mathrm{\tot} > 0\)
een hyperbool. Een andere manier om de drie gevallen op te schrijven is
\(E_\mathrm{k\in} < \left|E_\mathrm{pot}\right|\)
,
\(E_\mathrm{k\in} = \left|E_\mathrm{pot}\right|\)
en
\(E_\mathrm{k\in} > \left|E_\mathrm{pot}\right|\)
.
Stel nu dat de Aarde 'stil' zou hangen, terwijl er een ster langsbeweegt. Als de Aarde ingevangen wordt door de ster op het moment van kortste nadering, dan nemen we aan dat de Aarde een baan krijgt met als straal die kortste afstand en als baansnelheid de snelheid van de ster. Zo kunnen we bijvoorbeeld voor een gegeven ontmoeting uitrekenen of de baan open of gesloten zal zijn (mits we de massa van de ster weten).
Omgekeerd, als we de snelheid van de ster weten, kunnen we deze gelijkstellen aan
\(v_b\)
en dus de afstand
r, waarbinnen de ster moet passeren wil de Aarde blijven 'plakken', uitrekenen met vergelijking (3). Bovendien zouden we
r kunnen invullen in vergelijking (2) om de kans uit te rekenen dat zo'n interactie plaatsvindt. Is de afstand groter dan
r, dan zal de Aarde wel worden beinvloed door die ster, maar er geen baan om beschrijven. Mogelijk is dan het gevolg dat de baan van de Aarde zodanig wordt verstoord, dat deze niet langer aan de Zon gebonden zal zijn. In dat geval zal de Aarde alleen door de ruimte gaan bewegen, en kunnen we niet echt spreken van een geslaagde reddingsactie. Ook kan het zijn dat we een baanafstand vinden die de Aarde in een baan heel dicht om die ster brengt. Ook dat is redelijk fataal.
Wat we nu dus willen is de snelheid van M31 uitrekenen ten opzichte van de Zon, dit invullen als
\(v_b\)
in vergelijking (3) en
r uitrekenen. Met behulp van vergelijkingen (1) en (2) kunnen we vervolgens de kans op zo'n interactie uitrekenen.
De (radiele!) snelheid van M31 t.o.v. de Melkweg is nu circa 129km/s (dicht bij de 140km/s dat je noemt; na ieder nieuw onderzoek zal er wel weer een net iets andere waarde uitkomen). De beweging van de Zon zouden we hier nog aan moeten toevoegen, maar dan moeten we eerst uitrekenen hoelang het duurt tot de botsing (circa 3 miljard jaar, maar in 100 miljoen jaar staat de andere kant van het galactisch centrum (GC) en beweegt dus exact de andere kant op, dus we moeten het nauwkeuriger weten dan dat), dan bepalen waar de Zon dan staat en vervolgens wat de snelheidscomponent van de Zon is in de richting van M31. Aangezien de baansnelheid van de Zon om het GC circa 220km/s is, is dit niet verwaarloosbaar. Bovendien heeft de ster uit M31 mogelijk een vergelijkbare snelheid, die je zou kunnen moeten toevoegen of aftrekken, afhankelijk van de richting. Ik vind deze lap tekst echter al lang genoeg worden zo (langer dan ik hoopte
). Ik zal dus voor het gemak aannemen dat het snelheidsverschil tussen M31 en de Zon gelijk is aan dat tussen M31 en de Melkweg.
Dan zijn we er nog lang niet, want de snelheid nu is niet de snelheid op het moment van de 'botsing'. De twee sterrenstelsels trekken elkaar immers aan en hebben circa 3 miljard jaar de tijd om te versnellen. Hoe hoog die snelheid is, berekenen we weer met de energie, maar in een variant van vergelijking (3), omdat hier de twee massa's ongeveer even groot zijn, en we dus niet een van beide kunnen verwaarlozen. We gebruiken in plaats van de massa in de kinetische energie, de
gereduceerde massa:
\(\mu \equiv \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}. ~~~~~~~~~~ (4)\)
Je ziet dat als
\(m_1 >!> m_2\)
, dan is
\(m_1 + m_2 \approx m_1\)
en dus is
\(\mu \approx (m_1 m_2)/m_1 = m_2\)
, zodat we alleen de kleinste massa overhouden, zoals in de kinetische energie-term in vergelijking (3).
Vergelijking (3) wordt dan:
\(E_\mathrm{\tot} = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{k\in} = \frac{-G M_1 M_2}{r} + \frac{1}{2} , \mu , v^2. ~~~~~~~~~~ (5)\)
Er geldt dan, voor de situatie zoals we M31 nu waarnemen, ongeveer:
\(M_1 = 7\times10^{11},M_\odot, M_2 = 6\times10^{11},M_\odot, r_0\approx0,!77,\mathrm{Mpc}\)
en
\(v_0\approx129,\mathrm{km/s},\)
waarbij massa 1 van M31 is. Invullen van vergelijkingen (4) en (5) geeft:
\(E_\mathrm{\tot} \approx 6,!8\times10^{57},\mathrm{erg}\)
(1 erg = 0,0000001 Joule).
Deze totale energie blijft behouden tot de botsing, maar de potentiele energie neemt af (
r neemt af, dus wordt de term meer negatief), en dus moet de kinetische energie toenemen. Laten we het moment van (het begin van) de botsing noemen het moment waarop M31 nog slechts de diameter van de Melkweg van ons verwijderd is, dus
\(r_1 \approx 30,\mathrm{kpc}\)
. Hieruit willen we dan
\(v_1\)
uitrekenen, door vergelijking (5) om te schijven:
\(E_\mathrm{k\in} = E_\mathrm{\tot} - E_\mathrm{pot} = E_\mathrm{\tot} + \frac{G M_1 M_2}{r_1} \approx 1,!2\times10^{60},\mathrm{erg} ~~~~~~~~~~(6)\)
en
\(v_1 = \sqrt\frac{2,E_\mathrm{k\in}}{\mu}} \approx 612,\mathrm{km/s}. ~~~~~~~~~~(7)\)
De onzekerheid hierin is dus ongeveer de 200km/s van de baansnelheid van de Zon om het GC, en een vergelijkbare bijdrage van de ster uit M31. De som van die twee zou zowel in de bewegingsrichting van M31 als in tegenovergestelde richting kunnen zijn. Laten we dit (op z'n minst voorlopig) maar even vergeten en ervan uitgaan dat de snelheid van een passerende ster 600km/s is (de huidige baansnelheid van de Aarde van 30km/s kunnen we rustig negeren).
Onze simpele aanname is nu dat dit gelijk is aan
\(v_\mathrm{b}\)
, zodat we dit kunnen invullen in vergelijking (3), waar we vervolgens eisen dat
\(E_\mathrm{k\in} < \left|E_\mathrm{pot}\right|\)
. Als je dit uitwerkt vind je:
\(\frac{1}{2} M_\oplus v_\mathrm{b}^2 < \frac{G M_* M_\oplus}{r},\)
met
\(M_*\)
de massa van de ster. Oplossen voor
r levert:
\(r < r_\mathrm{\max} = \frac{2GM_*}{v_\mathrm{b}^2}.\)
Dit is de maximale afstand tussen de ster en de Aarde, wil de Aarde in een gesloten baan om de ster komen. Laten we als voorbeeld
\(M_* = 1,M_\odot, v_\mathrm{b}=600,\mathrm{km/s}\)
invullen. We vinden dan
\(r_\mathrm{\max} \approx 7,4\times10^{10},\mathrm{cm} \approx 1,1,R_\odot !\)
De Aarde zou dus bijna in de ster komen te zitten, wil de Aarde gebonden worden aan de ster. In dat geval zou ik dus niet willen spreken van een geslaagde reddingsactie (de Aarde bevindt zich op dit moment ongeveer 200 zonstralen van de Zon). Nu zit er in die waarde van 600 km/s zoals gezegd wel wat speling, maar zelfs als we 300km/s invullen vinden we nog slechts 4 zonstralen voor de maximale afstand, en bij 100km/s zijn dat 36 zonstralen (en dan zouden M31 en de Melkweg moeten
vertragen). En uiteraard zou de totale snelheid net zo goed 900km/s kunnen zijn i.p.v. 300km/s. Een grotere stermassa levert weliswaar een grotere maximumafstand op, maar ook een helderder (hetere) ster en is dus geen echte oplossing.
De waarde
\(r = R_\odot\)
invullen in vergelijking (2) levert een oppervlakte van
\(1,!8\times10^{-15},pc^{-2}\)
en dus een botsingskans van
\(2,!5\times10^{-12}\)
.
Ik zou dus zeggen dat er geen kans is dat de Aarde gered wordt. De mogelijkheden zijn (voor steeds grotere dichtste nadering):
1) de ster botst direct op de Aarde.
2) de Aarde komt in een baan verschrikkelijk dicht bij de ster en wordt gekookt.
3) de Aarde breekt los van de Zon, gaat door de Melkweg zwerven en bevriest, of spiraliseert in de Zon (als de ster baanenergie afneemt in plaats van geeft)
4) de baan van de Aarde wordt door de ster beinvloed, en wordt bijvoorbeeld elliptischer dan nu. In een extreem geval kan de Aarde in een soort komeetbaan terechtkomen, waarbij zij zich meestal heel ver van de Zon bevindt en soms korte tijd dichtbij. Als de nieuwe baan daarbij die van Jupiter kruist, wordt de Aarde mogelijk alsnog uit het zonnestelsel geslingerd.
5) de aardebaan wordt niet beinvloed van het passeren van de ster.
In theorie zouden we nog kunnen uitrekenen hoe lang we hebben tot de botsing, en wat de precieze snelheid is, maar veel zal dat aan onze conclusie niet veranderen. En ik kan me voorstellen dat dit al een eigen topic had moeten worden (moderator?).
