Ik zal wat uitleg gegeven bij voorbeeld 2a van die pagina, dan hoef ik zelf niets uit te vinden.
Het vectorveld is er tweedimensionaal, maar dat is geen probleem (je kan makkelijk veralgemenen).
De rotatie is 0 (het bereken daarvan is hier nog eenvoudigen, gewoon twee partiële afgeleiden), dus F conservatief.
We gaan nu op zoek naar de potentiaal V zodat F = grad(V) met F:
\(\vec F = \left( {2x^3 y^4 + x,2x^4 y^3 + y} \right)\)
We zoeken nu een potentiaal V(x,y) door te integreren, we weten:
\(\vec F = \nabla V \Leftrightarrow \left( {2x^3 y^4 + x,2x^4 y^3 + y} \right) = \left( {\frac{{\partial V}}{{\partial x}},\frac{{\partial V}}{{\partial y}}} \right) \Leftrightarrow \left{ \begin{array}{l} \frac{{\partial V}}{{\partial x}} = 2x^3 y^4 + x \frac{{\partial V}}{{\partial y}} = 2x^4 y^3 + y \end{array} \right.\)
We kunnen nu één van beide vergelijkingen gebruiken om te integreren, bijvoorbeeld de eerste.
Het is een partiële afgeleide naar x, dus als we integreren naar x mag de constante van y afhangen:
\( \frac{{\partial V}}{{\partial x}} = 2x^3 y^4 + x \Leftrightarrow V = \int {2x^3 y^4 + xdx} + f\left( y \right)\)
Integreren levert: (*)
\(V = \frac{{x^4 y^4 + x^2 }}{2} + f\left( y \right)\)
Nu is f(y) nog onbekend, maar we kunnen onze tweede vergelijking van daarnet nog gebruiken.
We nemen van beide leden de partiële afgeleide naar y en kunnen dV/dy vervangen:
\( \frac{{\partial V}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{x^4 y^4 + x^2 }}{2}} \right) + \frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}} \Leftrightarrow 2x^4 y^3 + y = 2x^4 y^3 + \frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}}\)
Oplossen naar de afgeleide van f naar y en integreren om f te vinden:
\(\frac{{\partial f\left( y \right)}}{{\partial y}} = 2x^4 y^3 + y - 2x^4 y^3 = y \Rightarrow f\left( y \right) = \int {ydy} = \frac{{y^2 }}{2} + C\)
Dit invullen in de uitdrukking die we voor V vonden, vlak na (*):
\(V = \frac{{x^4 y^4 + x^2 + y^2 }}{2} + C\)
