functieonderzoek

[PeterPan]

\(f_0(x) = 0\)

en voor n[grotergelijk]0 geldt

\(f_{n+1}(x) = \frac{x}{1-x+f_n(x)}\)

Definieer

\(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)\)

Wat is het maximale domein van f; wat zijn de nulpunten, buigpunten, extremen, asymptoten enz. van f?

[evilbu]

Limiet in linker en rechterlid nemen van je recursief voorschrift geeft je met een eenvoudige tweedegraadsvergelijking dat de limiet , ALS hij bestaat, -1 of x moet zijn

Vraag is nu : waar bestaat die, en wat is de waarde ?

Mijn gok : niet gedefinieerd in 0 en 1, en

in

\(]-\infty,-1] : -1\)

in

\(]-1,1[: x\)

in

\(]1,+\infty[ : -1\)

Nu nog dat bewijzen.

[PeterPan]

Waarom niet gedefinieerd in 0?

[evilbu]

Waarom niet gedefinieerd in 0?

Oeps, daar bestaat de limiet inderdaad ook, en is hij nul.

[PeterPan]

Nu nog dat bewijzen.

Hoe je zo iets kunt aanpakken lijkt me wel leerzaam. Daarom een (gedeeltelijk) bewijs.

Geval 1. -1 < a < 0.

\(x_0 = 0\)

\(x_{n+1} = \frac{a}{1-a+x_n}\)

Ik gebruik hier liever de letter a dan de letter x, omdat x hier een gekozen constante is.

Ik wil aantonen dat

\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)

Schrijf

\(x_n = a + y_n\)

Dan is

\(y_0 = -a\)

\(y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n}\)

We gingen er van uit dat 0 < -a < 1, dus is

\(y_n > 0\)

voor alle n. (Inductief is dat duidelijk).

Dan is

\( 0 < y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n} < (-a)y_n < (-a)^2 y_{n-1} < \cdots < (-a)^{n+1}\)

Hieruit volgt onmiddellijk met de insluitingsstelling dat

\(\lim_{n \to \infty} y_n = o\)

ofwel

\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)

.

Geval 2. 0 < a < 1.

We tekenen de grafiek van

\(y = \frac{a}{1-a+x}\)

De asymptoten zijn x=1-a en y=0.



We zien aan de grafiek dat

\(x_n\)

naar

\(a\)

convergeert.

[evilbu]

Je bedoelt waarschijnlijk a-1 voor die asymptoot?

Dan nog, hoe zie je dat aan die grafiek?

En wat met de andere gevallen, zo simpel is het helaas toch;

[PeterPan]

Je bedoelt waarschijnlijk a-1 voor die asymptoot?

Dan nog, hoe zie je dat aan die grafiek?

De asymptoot ligt inderdaad bij a-1.

Ik heb in de grafiek de y-waarden x₁, x₂ en x₃ getekend.

Zo is x₀ = 0 (startwaarde)

\(x_1 = \frac{a}{1-a+x_0}\)

en dus is

\((0,x_1)\)

het snijpunt van de grafiek

\(y = \frac{a}{1-a+x}\)

met de y-as (zie tekening).

\(x_2 = y(x_1)\)

enz.

Je ziet een spiraal ontstaan die cirkelt rond het snijpunt van de grafiek met de lijn y=x. Het snijpunt (a,a) wordt steeds dichter benaderd.

Als de richtingscoëfficient van de raaklijn in (a,a) aan de grafiek tussen -1 en 0 ligt ontstaat altijd zo'n spiraalvorm.

En wat met de andere gevallen?

Op dezelfde manier.

Schrijf

\(x_n = -1 + y_n\)

dan is

\(y_0 = -1\)

en

\(y_{n+1} = \frac{y_n}{y_n-a}\)

Als a[kleinergelijk]-1 maak je een afschatting en

als a>1 teken je een grafiek van

\(y = \frac{x}{x-a}\)

analoog aan hierboven. Nu krijg je een spiraal die rond de oorsprong draait en er naar toe kringelt.