Epsilon- Delta definitie bij limiet 2 veranderlijkingen

[kotje]

Bewijs met Epsilon-Delta definitie:

\(\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to(1,2)}(x^2+2y)=5\)

[PeterPan]

Zij

\(\epsilon > 0\)

We moeten nu aantonen dat er een

\(\delta > 0\)

bestaat zo dat voor alle x en y met

\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta\)

geldt

\(|x^2+2y-5| < \epsilon\)

Wel, kies

\(\delta = \sqrt{4+\epsilon} - 2\)

Merk op dat dan inderdaad

\(\delta > 0\)

is.

Stel

\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta\)

, dan is

\(|x-1| = \sqrt{(x-1)^2} < \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} < \delta\)

en

\(|y-2| = \sqrt{(y-2)^2} < \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} < \delta\)

Dan is

\(|x^2+2y-5| = |(x-1)^2+2(y-2)+2(x-1)| < |x-1|^2 + 2|y-2| + 2|x-1| < \delta^2 + 4\delta < \epsilon\)

En daarmee is de limiet aangetoond.

[kotje]

Ik meen dat de oplossing van PeterPan zeer elegant en kort is.Ik heb hier ook een oplossing liggen, maar langer en complexer dus ik neem liever zijn oplossing over. Voornamelijk dat de punten binnen een cirkel met straal

\(\delta\)

en middelpunt (1,2) moeten liggen, vind ik persoonlijk een goede vondst.

[EvilBro]

Voornamelijk dat de punten binnen een cirkel met straal

\(\delta\)

en middelpunt (1,2)  moeten liggen, vind ik persoonlijk een goede vondst.

Dat is de manier waarop de epsilon-delta gedefinieerd is. De vondst die PeterPan doet is:

\(\delta = \sqrt{4+\epsilon} - 2\)

(= de sleutel tot het bewijs)

en dus niet:

\(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}<\delta\)

(= de voorwaarde van de definitie)

[kotje]

Het zijn 2 goede vondsten. Akkoord. Maar het is mijn persoonlijke mening dat de tweede komt na de eerste.

[EvilBro]

Maar het is mijn persoonlijke mening dat de tweede komt na de eerste.

de tweede is onderdeel van de definitie van de limiet. Het is geen vondst (in ieder geval geen van PeterPan). Ik citeer uit mijn Calculus 2 dictaat:

Stel \(f:A \subset \rr^n \rightarrow \rr^k\). Als \(a \in \rr^n\) en \(b \in \rr^k\) dan betekent \(\lim_{z \rightarrow a} f(z) = b\):

Voor alle \(\epsilon > 0\) bestaat er een \(\delta > 0\), zodat voor alle \(z \in A\) met \(0 < |z - a| < \delta\) geldt \(|f(z) - b| < \epsilon\).

Ofwel specifiek op jouw probleem betrokken:

\(a = (1,2)\)

,

\(z = (x,y)\)

dus

\(|z-a| = |(x,y)-(1,2)| = |(x-1),(y-2)| = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}\)

[kotje]

Akkoord als ge het zo bekijkt is het geen vondst, maar dan zeker een intrepetatie waar ik persoonlijk niet zou op gekomen zijn (i.p.v. reële getallen ,koppels, complexe uitbreiding )

[PeterPan]

Zij

\(\epsilon > 0\)

We moeten nu aantonen dat er een

\(\delta > 0\)

bestaat zo dat voor alle x en y met

\(|x-1|+|y-2|<\delta\)

geldt

\(|x^2+2y-5| < \epsilon\)

Wel, kies

\(\delta = \min{1,\frac{\epsilon}{3}}\)

Stel

\(|x-1|+|y-2|<\delta\)

, dan is

\(|x-1|<\delta\)

en

\(|x^2+2y-5| = |(x-1)^2+2(y-2)+2(x-1)| < |x-1|^2 + 2|y-2| + 2|x-1| < \delta^2 + 2\delta < \delta+2\delta le \epsilon\)

En daarmee is de limiet aangetoond.