partiele afgeleiden meerdere variabelen

[zijtjeszotjes]

Een goedenmorgen, ik zoek het volgende:

Stel f is een functie op R³ waarvan alle partiele afgeleiden van orde 2 of lager bestaan. Stel

\(h(x,y)=f(\log(y),\cos(xy),x+y^2)\)

de vraag is: druk

\( \frac{d^2h}{dydx}\)

in termen van de 1e en 2e orde afgeleiden van f.

Mijn antwoord was zo:

stel

\( u=\log(y), v=\cos(xy) \)

,

\( w=x+y^2.\)

dan volgt:

\( h(x,y)=f(u,v,w). \)

ik reken eerst

\( \frac{dh}{dx}\)

uit:

\( \frac{dh}{dx} =-\frac{df}{du}y\sin(xy)+\frac{df}{dv}\)

het antwoord op de vraag is dan:

\( \frac{d^2h}{dydx}= \frac{d^2f}{dydx} =\frac{d}{dy}[-\frac{df}{du}y\sin(xy)+\frac{df}{dv}]\)

en dit is gelijk aan:

\(-\frac{d^2f}{dydu}y\sin(xy)-\frac{df}{du}\sin(xy)-\frac{df}{dyu}y\cos(xy)+\frac{d^2f}{dydv}\)

is dit waar? zo niet, wat is dan het goede antwoord?!

bedankt

[PeterPan]

Je maakt geen onderscheid tussen partiële en totale differentialen.

Het is een heel geschrijf, dus doe ik het maar voor een deel.

Ik zou het zo zeggen:

\(dh = df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\)

dan is

\(\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d(\log(y))}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d\cos(xy)}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{d(x+y^2)}{dx} =\)

\( -\frac{\partial f}{\partial y}y\sin(xy) + \frac{\partial f}{\partial z}\)

Dit willen we naar y differentiëren.

Daarvoor moeten we de productregel toepassen.

\(\frac{dh^2}{dydx} = (\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\frac{d(\cos(xy))}{dy} + \)

\(\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}\frac{d(x+y^2)}{dy}).(-y\sin(xy)) + \frac{\partial f}{\partial y}(-\sin(xy)-y^2\cos(xy)) + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}\frac{d\cos(xy)}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\frac{d(x+y^2)}{dy}\)

[zijtjeszotjes]

Je maakt geen onderscheid tussen partiële en totale differentialen.

Het is een heel geschrijf, dus doe ik het maar voor een deel.

Ik zou het zo zeggen:

\(dh = df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\)

dan is  

\(\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d(\log(y))}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d\cos(xy)}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{d(x+y^2)}{dx} =\)

\( -\frac{\partial f}{\partial y}y\sin(xy) + \frac{\partial f}{\partial z}\)

Dit willen we naar y differentiëren.

Daarvoor moeten we de productregel toepassen.

\(\frac{dh^2}{dydx} =  (\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\frac{d(\cos(xy))}{dy} + \)

ik kon dat symbooltje niet vinden. In dit geval...klopt me antwoord wel/niet?!

Thanxx

\(\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}\frac{d(x+y^2)}{dy}).(-y\sin(xy)) + \frac{\partial f}{\partial y}(-\sin(xy)-y^2\cos(xy)) + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}\frac{d\cos(xy)}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\frac{d(x+y^2)}{dy}\)

ik zal hiernaar kijken. Trouwens met

\(\frac{d^2h}{dydx}\)

bedoel ik eigenlijk:

\(\frac{\partial^2h}{\partial y \partial x}\)

[PeterPan]

Trouwens met

\(\frac{d^2h}{dydx}\)

bedoel ik eigenlijk:

\(\frac{\partial^2h}{\partial y \partial x}\)

Dat lijkt me sterk.