Open En Gesloten Bollen

[Saraatje]

Ik kom niet uit het volgende:

We hebben de functie

\(\[||\cdot ||_1 : R^2 \rightarrow R \quad\mbox{door}\quad ||x||_1 := \max(|x_1|,|x_2|) \]\)

Deze definieert een norm op R^2 (is dat makkelijk aan te tonen??)

De bijbehorende afstand wordt genoteerd met d_1. Deze metriek definieert de bol met middelpunt a uit R^2 en straal r>0 (notatie B_1(a;r)).

Geef open bol B_1(0;1) met middelpunt (0,0) en straal 1 en bewijs dat voor iedere a uit R^2 en iedere epsilon>0 de bol B_1(a;epsilon) open is t.a.v. de Euclidische metriek.

Iemand enig idee hoe ik dit kan doen?

[TD]

Ik kom niet uit het volgende:

We hebben de functie

\(\[||\cdot ||_1 : R^2 \rightarrow R \quad\mbox{door}\quad ||x||_1 := \max(|x_1|,|x_2|) \]\)

Deze definieert een norm op R^2 (is dat makkelijk aan te tonen??)

Je moet aantonen dat de norm niet negatief is (voldaan door absolute waarden) en enkel 0 als de vector zelf de nulvector is (ook triviaal). Bovendien moet een de norm van een vector vermenigvuldigd met een scalair gelijk zijn aan de norm van de vector, vermenigvuldigd met de absolute waarde van het scalair, ook voldaan (absolute waarden). Dan rest er nog de driehoeksongelijkheid.

[Saraatje]

Ok thanks! Ik snap alleen toch niet wat dat te maken heeft met de bol?

Oh, ok, even over de quote heen gelezen

Trouwens, als het een open bol betreft t.a.v. Euclidische metriek, betekent dat het dan ook een open bol betreft t.a.v. metriek d_1?

[TD]

Het is me niet duidelijk wat er bedoeld wordt met "open is t.a.v. de Euclidische metriek".

[Saraatje]

Voor zover ik begrepen heb:

Een verzameling is open <=> de verzameling = het inwendige van deze verzameling.

En verder, als de verzameling een metriek is, dan is de bol B(0;1) open in deze verzameling. Volgens mij kun je met het bewijs van de norm-definitie laten zien dat de ruimte een metriek betreft en dan is de gegeven bol automatisch open (is een lemma). Maar dat weet ik niet zeker.

[PeterPan]

Het is me niet duidelijk wat er bedoeld wordt met "open is t.a.v. de Euclidische metriek".

Hij zal de norm-1 metriek bedoelen.

Kies

\(x \in B_1(a;\epsilon)\)

De Euclidische afstand tussen x en a is (gebruik Pythagoras), zeg c.

Bekijk nu de bol

\(B_1(x;\frac{\epsilon-c}{10})\)

en toon aan dat deze bol in

\(B_1(a;\epsilon)\)

ligt,

dus dat het volgende geldt: Als

\(||z-x||_1<\frac{\epsilon-c}{10}\)

dan is

\(||z-a||_1<\epsilon\)

[Saraatje]

Klopt het trouwens dat de bol ook vierkant kan zijn? Of zeg ik nu hele gekke dingen...

[TD]

Klinkt gek, maar zie hier.

[Saraatje]

hmm, interessant dat het klopt!

Maar dan snap ik nog steeds niet hoe je openheid bewijst t.a.v. een metriek...

[Saraatje]

Maar dan snap ik nog steeds niet hoe je openheid bewijst t.a.v. een metriek...

Dus R^2 is een metrische ruimte met metriek d_1 en d_1 is een Euclidische afstand. Dan is de bol B_1(0;1) open in R^2 (dit laatste komt uit een lemma). Maar er schijnen twee verschillende bewijzen te zijn voor de Euclidische metriek en metriek d_1, maar ik dacht dat deze dezelfde metriek waren?

[PeterPan]

Het woord Euclidisch slaat op de gebruikelijke manier van afstand meten, dus met formules als

\( \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\)

Je moet bewijzen dat een bol open is.

Noem de bol

\(X\)

Dan moet je laten zien dat er voor elke

\(x \in X\)

er een bolletje om

\(x\)

bestaat, dat helemaal binnen

\(X\)

ligt.

Jouw bollen zijn door hun metriek in feite vierkanten.

Dus in dit geval moet je laten zien dat voor elk punt

\(x \in X\)

(In dit geval is X dus een vierkantje), er een bolletje (in dit geval is dat een vierkantje) om

\(x\)

bestaat dat geheel binnen X ligt. (Dus klein vierkanje binnen groot vierkant).