Oplossen Van De Golfbetrekking.

[Bert F]

stel dat we volgende functie hebben:

\( ( \frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} ) u(x,t)=0 \)

graag hadden we ze opgelost.

Onmiddellijk kunnen we opmerken dat de operator opzich te herschrijven is als

\(\frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} =(\frac{ \partial}{\partial t}- c\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}) \)

zodat we zien dat het volstaat dat:

als

\( A=(\frac{ \partial }{\partial t} -c\frac{\partial}{\partial x}) \ \ B=(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}) \)

dan zal

\(A=0 \)

en

\( B \neq 0\)

of dat

\(A \neq 0 \)

en

\(B=0\)

probleem zit hem nu in het oplossen van dit stelsel men zegt:

\((\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x})u=v \)

\((\frac{\partial}{\partial t} -c\frac{\partial}{\partial x})v=0\)

Men stelt dus de tweede vergelijking gelijk aan nul. Dan zal de eerste verschillende van nul moeten zijn maar waarom precies gelijk aan het argument van de tweede vergelijking? waarom zet men daar niet één of ander getal zolang het maar verschillend van nul is?

Groeten.

[Bert F]

Een mogelijke verklaring mss: ik neem een functie stop die in de eerste vergelijking van het stelsel u dus en ik verkrijg door de differentiaal operator een andere functie.

Ik eis dat de tweede vegelijking, of nog na toepassen van de operator van de tweede vergelijking op een welbepaalde functie nul is maar omwille van het feit dat ik zeker niet de nul functie (want dat zouw onzinnig zijn) mag evalueren stop ik err gewoon v in waarbij ik weet (maar waarom?) dat v niet nul is?

[TD]

Waar ben je dit tegengekomen of heb je dit zo opgelost gezien?

[Bert F]

dit zou een vergelijking van het hyperbolische type moeten zijn die men gaat proberen op te lossen. Bron:Partial differential equations lecture in applied mathematics.

Dit boek geeft (mijn in ziens) een elegante manier om dergerlijke golfvergelijking op te lossen, spijtig dat ik niet zie hoe men van de vergelijking een stelsel maakt.

Kan me iemand los van dit probleem vertellen hoe ik die dif vergelijking omzet naar een stelsel?

Groeten.

[TD]

Van waar ze die v halen is mij ook niet direct duidelijk.

Je kan Aanvullingen van de wiskunde van Caenepeel eens bekijken, hoofdstuk 2, voorbeeld 2 (p 35 ev).

[Bert F]

Bedankt goed uitgelegd in referentie.

Ik denk een idee te hebben hoe het eventueel uit te leggen is.

Stel gegeven is de vergelijking

\( ( \frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} ) u(x,t)=0 \)

zoals in mijn eerste post splitsen we ze op en probeeren we er voor te zorgen dat één van de twee nul is en de andere niet stel dat

\((\frac{\partial}{\partial t} -c\frac{\partial}{\partial x})v=0\)

nul s voor een zekere gezochte v dan volgt volgens mij dat

\(\frac{\partial v }{\partial t}=c \frac{\partial v }{\partial x }\)

Dit kan ik idd ook voor de andere doen maw de redenering blijft hetzelfde als ik de andere vergelijking( dus B) verkies.

Zodat ik, indien ik die v in de andere namelijk

\((\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}) \)

zou invullen dan krijg ik zeker iets wat nul is. Of omgekeerd (maar dan zou bijectieviteit moeten gelden) kan ik een argument vinden zodat ik die v krijg.

Zodat ik een stelsel construeer met dus twee vergelijkingen en twee onbekenden, of nog een stelsel zoals het hoort waarbij ik niet weet hoe ik rechtstreeks vanuit mijn opgave er geraak maar ik wel kan toetsen dat het klopt.

Verder zal men bij de afleiding van de algemene oplossing van deze golfvergelijking dit stelsel niet rechtstreeks gebruiken, eerder als criteria waaraan men eerst onderstelt dat de gezochte functies voldoen éénmaal deze geconstrueerd controleert men de gezochte functie aan de eigenlijke op te lossen differentiaal vergelijking en wat blijkt ze kloppen.

Zou dat zo moeten zijn? Groeten.