N Is Viervoud

[mo]

\(n\)

is een positief geheel getal. Er is een reeks

\(a_1,a_2,...,a_n\)

met

\(a_i\)

natuurlijk getal, en waarvan

\(\sum\limits_{i=1}^n{a_i}=0\)

, bovendien is

\(a_1.a_2...a_n=n\)

. Bewijs dat

\(n\)

een

\(4\)

-voud is.

[PeterPan]

onmogelijk

[Rogier]

Bedoelde je niet dat a_i een geheel getal moet zijn, i.p.v. een natuurlijk getal? (dus ipv )

Met natuurlijke a_i's geldt

\(a_i\geq0\)

en dus

\(\sum_{i=1}^n a_i = 0 \Longleftrightarrow a_i=0 \ \forall i\)

.

En als je de conventie van "natuurlijk getal" gebruikt waar

\(0\notin\nn\)

dan kan zelfs

\(\sum_{i=1}^n a_i = 0\)

al niet.

[mo]

Ik bedoelde natuurlijk gehele getallen, sorry.

[mo]

Niemand ?

[PeterPan]

Ik bedoelde natuurlijk gehele getallen, sorry.

natuurlijk gehele getallen = natuurlijk getallen.

We zullen maar aannemen dat je gehele getallen bedoelt.

Bekijk de getallen modulo 4. Dan is elk getal -1,0,1 of 2 (mod 4).

Stel n geen 4-voud.

2 mogelijkheden

1) alle getallen zijn oneven.

Dan kan de som van n (is oneven) getallen die elk -1 of 1 (mod 4) zijn nooit 0 zijn.

2) alle getallen zijn oneven op één na, dat 2 is (mod 4).

De som is 0, splits daarom de getallen die negatief zijn (A) van de getallen die positief zijn (B).

n is even, dus er zijn een even aantal negatieve getallen (want product = n is positief).

Daar het totale aantal elementen even is (n), zijn er ook een even aantal positieve elementen.

Het even getal zit in A of in B. Zit het in A, dan is de som van de elementen van A oneven, en van B even.

Analoog andersom.

Onmogelijk.

Klaar.