Rare banen bij andere gravitatiewetten

[aaargh]

Ik heb me eens een gravitatiesimulator gemaakt. Deze is gebaseerd op het fysica programma van Shoqproof en ik ben hem dan ook heel dankbaar om me op weg te helpen.

Het is me gelukt om deeltjes al mooie banen te doen trekken. Maar nu vroeg ik me af hoe die banen eruit zouden zien bij andere gravitatiewetten. Vooral

\( a = \frac{Gm}{\sqrt®}\)

verrasste me.

\( F = \frac{GMm}{r^2} \)

Onze goeie ouwe eigen wet.

\( F = \frac{GMm}{r^3} \)

Blijkbaar niet stabiel.

\( F = \frac{GMm}{r^4} \)

Deze is al helemaal niet stabiel. Wat vreemd.

\( F = \frac{GMm}{r} \)

Deze is blijkbaar wel stevig, maar wobbelt toch ook.

\( F = GMmr \)

Ook mooi stabiel

\( F = frac{GMm}{\sqrt{r}} \)

Hier heb ik de snelheid per ongeluk een paar keer te laag gezet, toevallig een mooi patroon.



Wel met orbitale snelheid:



Deze ziet er een beetje wishy washy uit. Laten we de massa van de binnenste bol eens vergroten, en zo ook de orbitale snelheid.



Wow, wat wat vreemd. Hogere snelheden schieten weg doordat er te weinig samples worden genomen.

Moraal van het verhaal, wees blij met je gravitatiewetten. Sommige zouden ons wegschieten, andere zouden nogal extreme seizoenen geven!

Heeft iemand nog ideeen, laat ze me dan weten.

Ik wist niet goed of dit hier moest of in het WSF Café, verplaats indien nodig.

[Sybke]

Het delen door r-kwadraat is van de kwadratenwet, en komt omdat er 3 ruimtelijke dimensies zijn.

[aaargh]

Ik weet het Sybke, maar ik wou eens weten hoe de banen er zouden uitzien met andere wetten.

Conclusie: we hebben veel geluk met onze wetten, anders zouden we gewoon uit het zonnestelsel worden gesmeten.

[Rov]

Nu ja, of dat geluk, toeval of iets anders (iets godelijk?) is daar zijn de mening over verdeeld .

Btw, leuk experimentje.

[Bart]

Het is aan te tonen (dat voor de functie F® = a rⁿ alleen n = -2 en n = 1 een stabiele baan kunnen opleveren. Dit is wat eerstejaars natuurkunde studenten in Groningen met behulp van simulaties (en ook theoretisch) moeten uitvinden.

aargh, let wel op dat jouw eenheden niet meer met elkaar overeen komen. Niet dat het iets uitmaakt voor het daadwerkelijke vraagstuk

[Rov]

Mag ik vragen hoe je dat aantoont, Bart?

[Bart]

Uit Marion and Thornton, 4de editie:

We hebben een kracht

\(F[r] = - \frac{k}{r^n}\)

ofwel een potentiaal

\(U[r] = \frac{k}{n-1}\frac{1}{r^{n-1}}\)

Dan is de effectieve potentiaal van een cirkelvormige baan (dwz, de potentiaal + de centrifugaalkracht)

\(V[r] = U[r] + \frac{l^2}{2\mu r^2}\)

Waarbij l het impulsmoment en mu de gereduceerde massa is.

De baan is stabiel indien \(V[r]\) minimaal is, ofwel:

\( \frac{\partial V}{\partial r} = 0\)

\( \frac{\partial^2 V}{\partial r^2} > 0 \)

Als je dit uitwerkt kom je op dat n < 3 moet zijn.

Nu ben ik even kwijt wat de opgave precies was voor de studenten, waarvoor de uitkomst n = 2 en n = -1 zou zijn. Die opgave zal in ieder geval niet analytisch op te lossen zijn, omdat het hier een vraagstuk voor simulaties bedroeg.

[Rov]

Ok, maar hoe kom je aan die centrifugaalkracht (en wat is de "gereduceerde massa"?)? En waarom is de baanstabiel als V® minimaal is?

Of stel ik nu vragen die véél te lange antwoorden gaan geven?

[Bart]

Voor die vragen heb je een lang hoofdstuk nodig uit een mechanica boek

Als je natuurkunde gaat sturen dan ga je dat ook allemaal snappen.

[Rov]

Als je natuurkunde gaat studeren? dan ga je dat ook allemaal snappen.

Hmm, en als ik dat al doe?

[Bart]

Volgens mij ben jij eerstejaars? Ik heb geen idee hoe het programma in Leuven in elkaar zit, maar ik vermoed dat je dit soort mechanica nog dit jaar of anders volgend jaar gaat krijgen.

[Rov]

Ik ben inderdaad eerstejaars, en als ik het programma bekijk lijkt me dat inderdaad volgend jaar aan bod te komen. Toch bedankt voor de moeite .

[Jabs]

Ik zal het proberen uit te leggen:

Gereduceerde massa:

De gereduceerde massa is een wiskundig trucje voor als je wilt meenemen dat de zon waarom de planeet heen draait niet stil staat, maar ook een beetje om de planeet heen gaat draaien. Het is een speciaal soort gemiddelde van de massa van de planeet en de zon en uit de berekening volgt dan de beweging om het massamiddelpunt. Gewoonlijk heb je een prima benadering als je gewoon de massa van de planeet laat staan, omdat de zon toch veel zwaarder is.

Centrifugaalkracht:

De centrifugaalkracht, oftewel de middelpuntzoekende kracht is de kracht waarmee je moet trekken om een ronddraaiend voorwerp naar het midden toe te krijgen. Denk aan een gewicht aan een touwtje waarmee je rond slingert, het kost kracht om het touwtje in te korten.

Minimum potentiaal:

De kracht die op een deeltje werkt, duwt het deeltje altijd naar een lagere potentiaal. Vergelijkbaar: een bal rolt van een heuvel af, en er niet op en zal dus in een dal blijven liggen. Als je geen wrijving hebt, en dus alleen potentiele hoogte energie, zal de bal wel om een minimum, een dal, heen en weer kunnen bewegen, maar niet om een ander punt.

Iets heeft dus alleen een stabiele toestand als de potentiaal een (lokaal) minimum heeft , als de potentiaal geen lokaal minimum heeft, zal een voorwerp steeds verder van zijn originele positie worden geduwd.

Overigens is dit prima analytisch op te lossen. Let goed op de mintekens (volgens mij is er minteken vergeten door Bart bij U(r ) ) en denk aan het speciale geval van differentieren van r^n voor n = -1. En kijk dan voor welke n er een positieve r bestaat waarbij de effectieve potentiaal een lokaal minimum heeft.

eh, n = 0, is speciaal bedoel ik natuurlijk

Sorry, om het analytisch op te lossen heb je nog net iets meer gegevens nodig zie ik nu, dus zo eenvoudig is het toch niet.

[Marco van Woerden]

Je kunt toch gewoon kijken naar de differentiaalvergelijking?

\(m \"{r} = \frac{\kappa}{r^n}\)

Je kunt voor iedere

\(n\)

een oplossing

\(r(t)\)

proberen te vinden, om te kijken voor welke

\(n\)

geldt

\(\dot{r}(t) = 0\)

of

\(\lim_{t \rightarrow \infty}{\dot{r}(t)} = 0\)

. In het laatste geval is er sprake van een limit cycle.

[Rov]

Centrifugaalkracht:

De centrifugaalkracht, oftewel de middelpuntzoekende kracht is de kracht waarmee je moet trekken om een ronddraaiend voorwerp naar het midden toe te krijgen. Denk aan een gewicht aan een touwtje waarmee je rond slingert, het kost kracht om het touwtje in te korten.

Bedankt voor al de uitleg, de meeste dingen wist ik wel al, net zoals in de quote. Het ging mij echter meer om de formule dan om wat een centrifugaarkracht is, dat wist ik wel al. Die formule had ik namelijk nog nooit gezien.