Limiet van een som

[Herman Bastiaans]

Heeft iemand een idee hoe de volgende limiet aan te pakken.

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\)

[PeterPan]

Schrijf

\(a_{n,k} = \left( a - \frac {k} {n} \right)^{-\frac12}\)

Ik toon aan dat je limiet (voor a>1 !!!) is

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} = \ln(\frac{a}{a-1})\)

Volgens de definitie van de Riemann integraal is

\( \ln(\frac{a}{a-1}) = \int_{0}^{1} \frac{dx}{a-x} = \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}}\)

We hoeven dus nog slechts aan te tonen dat

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = 0\)

\(a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = a_{n,k}(a_{n,k-1} - a_{n,k}) = \frac{a_{n,k}}{n(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})}\)

Merk op dat

\(a^{-\frac12} \leq a_{n,k} \leq (a-1)^{-\frac12}\)

dan is

\( \frac{a^{-\frac12}}{2a^3(a-1)^{\frac12}}\leq \frac{a_{n,k}}{(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})} \leq \frac{(a-1)^{-\frac12}}{2(a-1)^3a^{\frac12}}\)

dus

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}f(k,n) = 0\)

waarbij

\(f(k,n)\)

tussen 2 van

\(k\)

en

\(n\)

onafhankelijke grenzen ligt.

[Herman Bastiaans]

Hallo Peter, bedankt voor je snelle antwoord. Het is wel lastig dat je eerst ongeveer het antwoord moet weten om vervolgens dit te bewijzen. Ik heb ook een variant met behulp van insluiten.

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)}\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k}{n}\right)}\)

\(\Longrightarrow\)

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\left(\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{\left( a - \frac {k}{n}\right)}+ \frac{1}{a}-\frac{1}{a-1}\right)\leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \)

\(\Longrightarrow\)

\(\ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \leq \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} }\leq \ln\left(\frac{a}{a-1}\right) \)

[PeterPan]

Zo kan het inderdaad ook.

Merk op dat het bewezen is voor

\(a>1\)

.

Met een handigheidje is hieruit ook de oplossing te geven voor

\(a<1\)

.

Wat is de uitkomst voor

\(a<1\)

?

[PeterPan]

Als

\(0 \leq a \leq 1\)

, dan

1.) als

\(a\)

rationaal is, dan is

\(a = \frac{k}{n} = \frac{pk}{pn}\)

voor zekere

\(k,n \in \nn\)

en voor alle

\(p \in \nn\)

.

Dan is de rij voor oneindig veel termen niet gedefinieerd, dus bestaat de limiet niet.

2.) als

\(a\)

irrationaal is, dan is er voor elke

\(n \in \nn\)

een

\(k \in \nn\)

zo dat

\(\frac{k-1}{n} < a < \frac{k}{n}\)

.

Maar dat is geen enkel term van de rij gedefinieerd, omdat elke term de wortel uit een negatief getal getrokken moet worden; en zoals bekend is dat niet gedefinieerd.

Als

\(a < 0\)

, schrijf dan

\(b=-a\)

Dan is

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( a - \frac {k-1}{n}\right)\left( a - \frac {k} {n} \right)} } = \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b + \frac {k-1}{n}\right)\left( b + \frac {k} {n} \right)} } =\)

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b+1 - \frac {n-k+1}{n}\right)\left( b+1 - \frac {n-k} {n} \right)} } =\)

(substitueer

\(r = n-k+1\)

)

\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {r=1}^{n} \sqrt { \frac{1}{\left( b+1 - \frac {r}{n}\right)\left( b+1 - \frac {r-1} {n} \right)} } = \ln(\frac{a-1}{a})\)