Vergelijking grafiek gezocht

[PeterPan]

Getekend is de helft van de eenheidscirkel (cirkel met straal 1).

Een andere cirkel rolt over deze halve cirkel en verandert voortdurend van grootte zodat zijn middelpunt op dezelfde hoogte blijft. Punt P is altijd het hoogste punt van de rollende cirkel.

Wat is de baan die punt P beschrijft?

[kotje]

Ik heb niet veel tijd, maar ik wil wel even gissen, een parabool y=x²+1.

[Sjakko]

Ik noem de onderste horizontale lijn dan x-as en de verticale lijn de y-as. Nu noem ik de hoek tussen de y-as en het lijnstuk van het centrum van de kleine cirkel tot de oorsprong

\(\theta\)

. De straal van de grote cirkel is a en de straal van de kleine cirkel is b. Dan volgt:

\(y=a+b=\frac{a}{cos \theta}\)

\(x=-atan \theta \)

\(\theta = tan^{-1} \left(-\frac{x}{a} \right) = - tan^{-1} \left(\frac{x}{a} \right)\)

dus

\(y=-\frac{x}{sin \theta}\)

Nu

\(\theta\)

elimineren:

\(y=\frac{x}{sin \left( tan^{-1} \left(\frac{x}{a} \right) \right)}\)

[PeterPan]

Gegeven was dat de grote cirkel straal 1 heeft, dus

\(y=1+b=\frac{1}{\cos \theta}\)

(*)

\(x=-\tan \theta \)

\(\theta = \arctan(-x) = -\arctan(x)\)

(**)

dus

\(y=-\frac{x}{\sin \theta}\)

Nu

\(\theta\)

elimineren:

\(y=\frac{x}{\sin( \arctan(x))}\)

Uit (*) volgt en (**) volgt toch rechtstreeks

\(y = -\frac{1}{\cos(\arctan(x))}\)

?

Zou deze ingewikkelde formule niet te vereenvoudigen zijn?

[Sjakko]

ongetwijfeld, maar ik ben geen wiskundige

[TD]

Er geldt:

\(\frac{1}{{\cos ^2 x}} = 1 + \tan ^2 x \Rightarrow \cos x = \sqrt {\frac{1}{{1 + \tan ^2 x}}} \)

Dus:

\(\cos \left( {\arctan x} \right) = \frac{1}{{\sqrt{1 + x^2 }}}\)

[PeterPan]

Ok, dat geeft de hyperbool

\(y^2-x^2=1\)

.

Volgens mij is dat niet correct, want ik zie zo dat die grafiek niet als asymptoot

\(y=x\)

heeft.

[Sjakko]

Uit

\(y = \frac{1}{\cos(\arctan(x))}\)

en

\(\cos \left( {\arctan x} \right) = \frac{1}{{\sqrt{1 + x^2 }}}\)

volgt dan

\(y=\sqrt{1 + x^2 }\)

Dat zou hem dan toch moeten zijn.

[PeterPan]

Dat lijkt me ook. Het is een hyperbool.

[eendavid]

geometrisch, met R de straal van de cirkel.

\(y=1+R\)

\(x=sqrt((1+R)^2-1)\)

Hieruit volgt onmiddelijk: \(y^2-x^2=1\)

[PeterPan]

Inderdaad.

[Brinx]

Ok, dat geeft de hyperbool

\(y^2-x^2=1\)

.

Volgens mij is dat niet correct, want ik zie zo dat die grafiek niet als asymptoot

\(y=x\)

heeft.

Dat de grafiek die asymptoot niet heeft komt doordat de totale lijn uit 3 delen bestaat, lijkt me: het stuk lijn voordat de rollende cirkel de halve cirkel raakt, het stuk lijn gedurende welke de rollende cirkel over de halve cirkel heenrolt, en het stuk lijn nadat de rollende cirkel de halve cirkel weer 'verlaten' heeft.

Of bedoelde je iets anders?

[PeterPan]

Of bedoelde je iets anders?

Ik zag spoken. Om onduidelijke redenen ging ik er van uit dat de grafiek een parabool was.