Wiskunde en zwaartekracht

[Jan van de Velde]

En, heeft dat gestoei al wat opgeleverd?

(sorry voor de bump, maar het is voor het goede doel zullen we maar zeggen)

[Brinx]

Ah, goed dat je het weer onder de aandacht brengt Jan! Ik ga er morgen (op mijn werk ) eens aan zitten.

[PeterPan]

Als leek zou ik zeggen, verdeel die ellips in hapklare brokjes zoals in de figuur.

Elk brokje is een cirkelschijf. Elke cirkelschijf heeft dezelfde dikte d en heet inhoud pi r^2 d.

De zwaartepunten van alle schijfjes liggen op één lijn.

De aantrekkingskracht voor elk schijfje afzonderlijk berekenen, optellen en limiet nemen.

[PeterPan]

Het kan eenvoudiger. De uitwerking volgt nog.

[PeterPan]

Teken een ellipsoïde, waarvan de doorsnijding met het xy-vlak een ellips is met vergelijking

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

en een bol met middelpunt (-a,0,0).

Bol en ellipsoide snijden elkaar onder een hoek

\(\phi\)

, d.w.z. de lijn

\(y=\tan(\phi)(x+a)\)

in het xy-vlak snijdt zowel bol als ellipsoïde.

De zwaartekracht uitgeoefend door het deel ingesloten tussen de bol en de ellipsoide

op een voorwerp in (-a,0,0) en behorend bij hoek

\(\phi\)

is per definitie

\(Z(\phi)\)

.

De lijn

\(y=\tan(\phi)(x+a)\)

snijdt de ellips(oide) in 2 punten, (-a,0,0) en

\((x,y,0)\)

met

\(x = \frac{ab^2-a^3\tan^2(\phi)}{b^2+a^2\tan^2(\phi)}\)

\(y = \frac{2ab^2\tan(\phi)}{b^2+a^2\tan^2(\phi)}\)

Het deel van de bol dat door de ellipsoide wordt afgesneden heeft dan een oppervlakte

\(2\pi (x^2+r^2)(1-\cos(\phi))\)

Dan is

\(Z'(\phi) = \lim_{h \to 0}\frac{Z(\phi+h) - Z(\phi)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{V(\phi+h) - V(\phi)}{h(x^2+y^2)}\)

waarbij

\(V(\phi)\)

het inhoud is van het deel ingesloten tussen bol en ellipsoide.

Dan is

\(Z'(\phi) = \lim_{h \to 0}\frac{Z(\phi+h) - Z(\phi)}{h} = \frac{2\pi a^2}{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^3}\frac{T}{x^2+y^2}\)

met

\(T = \frac{-\sin(\phi)}{\cos^6(\phi)}((5b^4a^2-3b^6-a^6-b^2a^4)\cos^6(f)+(10b^2a^4-4b^6+3a^6-9b^4a^2)\cos^4(f)+\)

\((-8b^2a^4+8b^6)\cos^3(f)+(-3a^6-9b^2a^4+12b^4a^2)\cos^2(f)+(8b^2a^4-8b^4a^2)\cos(f)+a^6)\)

Dus de door de ellipsoide uitgeoefende zwaartekracht is

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\pi a^2}{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^3}\frac{sin(\phi)}{\cos^6(\phi)}\)

\(((5b^4a^2-3b^6-a^6-b^2a^4)\cos^6(f)+(10b^2a^4-4b^6+3a^6-9b^4a^2)\cos^4(f)+(-8b^2a^4+8b^6)\cos^3(f)+\)

\((-3a^6-9b^2a^4+12b^4a^2)\cos^2(f)+(8b^2a^4-8b^4a^2)\cos(f)+a^6)\frac{(b^2+a^2\tan^2(\phi))^2}{a^2(a^4\tan^4(\phi)+2b^2\tan^2(\phi)(b^2-a^2)+b^4})\ d\phi\)

De rest wordt aan de lezer overgelaten, of aan een of ander rekenprogramma.

[PeterPan]

Tiepfoutje:

Het deel van de bol dat door de ellipsoide wordt afgesneden heeft dan een oppervlakte

\(2\pi (x^2+y^2)(1-\cos(\phi))\)

en de laatste uitdrukking kan worden vereenvoudigd tot

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\pi}{b^2+a^2\tan^2(\phi)}\frac{sin(\phi)}{\cos^6(\phi)}\)

\(((5b^4a^2-3b^6-a^6-b^2a^4)\cos^6(f)+(10b^2a^4-4b^6+3a^6-9b^4a^2)\cos^4(f)+(-8b^2a^4+8b^6)\cos^3(f)+\)

\((-3a^6-9b^2a^4+12b^4a^2)\cos^2(f)+(8b^2a^4-8b^4a^2)\cos(f)+a^6)\frac{1}{a^4\tan^4(\phi)+2b^2\tan^2(\phi)(b^2-a^2)+b^4})\ d\phi\)

Dit verder uitrekenen heeft pas zin als iemand alles op eventuele foutjes heeft gecontroleerd.

[Brinx]

Toch nog maar even wezen stoeien met dit probleem!

Even ter controle: Voor de gravitatieversnelling die een object ondervindt wanneer het op een hoogte H boven het middelpunt van een schijf met massa M, straal R, en verwaarloosbare dikte zit krijg ik:

\(a_{(tgv-schijf)} = \frac{2M}{R^2} \cdot \left(\frac{1}{h^2} - \frac{h}{(h^{2} + R^{2})^{\frac{3}{2}}}\right)\)

Ik heb hier gebruik gemaakt van de dubbele integraal:

\(a(dm) = \int_0^R \int_0^{2pi} \frac{M}{pi R^2} \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}} \frac{1}{h^2 + r^2} r d\theta dr \)

Ik heb net de boel even nagerekend, en ik heb inderdaad fouten gemaakt bij het evalueren van die dubbele integraal. Het verbeterde resultaat is:

\(a_{(tgv-schijf)} = \frac{2M}{R^2} \cdot \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}} \right)\)

Hiermee moet het stapelen van de cirkelschijfjes tot een ellipsoide wel lukken - daar ga ik mee verder.

Ik heb PeterPan's oplossing nog niet gecheckt trouwens - maar misschien is het juist handig om er via twee onafhankelijke oplossingen uit te komen!

[edit]: Argh, van het resultaat hierboven klopt nog steeds niets. Immers, de verticale versnelling moet nul worden wanneer 'h' nul is, omdat er dan geen verticale component meer is van de uitgeoefende zwaartekracht! Ik laat het toch even staan, zodat anderen tegelijkertijd naar de fout kunnen zoeken als ze willen.

[Brinx]

Hum, ik heb de fout niet kunnen vinden. Even om toe te lichten: in de uitdrukking die de aantrekkingskracht t.g.v. een massa-elementje geeft (a(dm)), staan de drie breuken voor respectievelijk de massa per eenheid van oppervlakte van de schijf \((\frac{M}{\pi R^2})\), de cosinus van de hoek die de verbindingsvector van het oppervlakte-elementje en de testpositie maakt met de verticaal \((\frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}})\) en de inverse van het kwadraat van de afstand tussen het oppervlakte-elementje en de testpositie \((\frac{1}{h^2 + r^2})\).

Vervolgens wordt geintegreerd over het oppervlak van de schijf (die in deze berekening eigenlijk benaderd wordt als een schijfvormige singulariteit: hij heeft een dikte van 0!). Dit hoeft in de verdere berekening van de ellipsoide op zich geen probleem te zijn, daarin wordt M namelijk vervangen door dM, en als integratiestap wordt dan de variabele dt gebruikt voor dikte.

Het feit dat de verticale aantrekkingskracht niet 0 wordt voor h naderend naar 0 kan misschien juist komen door het feit dat hier een schijfvormige singulariteit beschreven wordt. Maar dan klopt het gedrag van de uitdrukking nog steeds niet wanneer 'h' negatief genomen wordt! Nog even doorspitten dus.

[PeterPan]

Blijkbaar een totaal irrelevant probleem.

[Brinx]

Hm, volgens mij ben ik slordig geweest met tekens in die formule voor de aantrekkingskracht t.g.v. een oppervlakte-elementje. Er moet nog een minteken bij! De aantrekkingskracht staat per slot van rekening naar beneden gericht wanneer 'h' positief is (dus wanneer de testpositie boven de schijf zit).

Ik ga er later nog wat mee stoeien, als ik wat papier bij de hand heb.

Maak je niet ongerust trouwens, het ligt niet stil: de voortgang is gewoon niet enorm snel.

[Bartjes]

Wie lost dit a.u.b. wiskundig op:

De aarde is niet rond. Dat wil zeggen, ze is geen perfecte bol, maar heeft een beetje een ellipsoide doorsnede, afgeplat aan de polen en uitgedijd aan de evenaar. Gevolg hiervan is dat je gewicht (de kracht waarmee de aardmassa aan jouw massa trekt en v.v.) op de evenaar kleiner is dan op de polen.

Of deze kracht op de evenaar groter, kleiner of gelijk aan die op de polen is valt nog te bezien. De aarde heeft als gevolg van haar draaiing bij benadering de vorm die zij zou hebben als zij geheel vloeibaar zou zijn. Deze vorm is alleen stabiel als een opspattend vloeistofdruppeltje loodrecht op het vloeistofoppervlak terugvalt. De schijnbare gravitatieversnelling (gemeten in een met de aarde meedraaiend referentiestelsel) moet dus ook steeds loodrecht op het geïdealiseerde aardoppervlak staan. Deze schijnbare gravitatieversnelling is de resultante van de "echte" gravitatieversnelling (gemeten is een niet met de aarde meedraaiend referentiestelsel) en de centrifugaalversnelling (een schijnversnelling die in het met de aarde meedraaiende referentiestelsel wordt ervaren).

Het gevolg hiervan is dat je de "echte" gravitatieversnelling kan berekenen uit de grootte en richting van de centrifugaalversnelling - de "echte" gravitatieversnelling moet wat grootte en richting betreft namelijk steeds zo zijn dat de resultante van de "echte" gravitatieversnelling en de centrifugaalversnelling loodrecht op het geïdealiseerde aardoppervlak staat. Alleen exact aan de evenaar werkt dit niet omdat daar de echte gravitatieversnelling en de centrifugaalversnelling de zelfde werklijn hebben, en op de polen werkt het ook niet omdat daar de centrifugaalversnelling nul is. Om die waarden te vinden moeten we aannemen dat de gravitatieversnelling aan de polen en op de evenaar geen "sprong" vertoont, zodat we de limiet kunnen nemen.

Ik heb op het moment niet veel tijd om dit verder uit te werken, maar zo zou ik het aanpakken. Ik vermoed dat je zo veel van het ingewikkelde integralenwerk kunt omzeilen.

(Je bekijkt dan een steeds sneller draaiende aarde die dus steeds meer afgeplat wordt. In de praktijk zou de aarde dan bij een bepaalde snelheid uit elkaar geslingerd worden, maar we gaan er vanuit dat dit niet gebeurt.)

[Bartjes]

De raaklijn aan een ellips blijkt aan een eenvoudige meetkundige regel te voldoen:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Ellips_(wiskunde)#Raaklijn

Dat is al weer een stapje verder!

[Bartjes]

De volgende links moeten - lijkt mij - uitkomst kunnen bieden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Clairaut%27s_theorem

http://dml.cz/bitstr...16-1971-2_4.pdf

Wellicht dat mensen die beter dan ik thuis zijn in deze materie er nog eens naar willen kijken?

[eezacque]

Je zou, om de gedachten te bepalen, 'ns een aarde kunnen definieren die uit twee puntmassa's bestaat, met verschillende massaverdeling, en dezelfde afstand. Bepaal voor elke verdeling het zwaartepunt van het systeem, en de gravitatiekracht van het systeem...

[Bartjes]

Je zou, om de gedachten te bepalen, 'ns een aarde kunnen definieren die uit twee puntmassa's bestaat, met verschillende massaverdeling, en dezelfde afstand. Bepaal voor elke verdeling het zwaartepunt van het systeem, en de gravitatiekracht van het systeem...

En dan?