Doorrekenen mechanische stier

[rogier .]

Ik ben bezig met het ontwerpen en vooral doorrekenen van een mechanische stier. Nu zit ik met het volgende probleem. Ik moet het max. aandrijfkoppel en de snelheid bepalen om iemand er vanaf te werpen. de bekende gegevens zijn massatraagheid = 210 kg m2 , klemkracht tussen de benen is 343 N, wrijvingscoef. = 0,2, gewicht persoon is 120 kg en hij zit op 0,5 m uit het rotatiecentrum. Hoe bepaal ik de hoekversnelling of snelheid na zeg 180 graden?

[Sjakko]

Laten we er vanuit gaan dat de persoon puur door de centrifugaalkracht wordt afgeworpen (dat lijkt me ook een beetje de aard van de vraag). Je moet dan de situatie bekijken waarbij de centrifugaalkracht groter wordt dan de wrijvingskracht tussen benen en stier, dus wanneer

\(F_{c}>F_{w}\)

Er geldt:

\(F_{c}=m \omega ^2 r\)

en

\(F_{w}=\mu F_{b}\)

, dus

\(m \omega ^2 r>\mu F_{b}\)

ofwel

\(\omega > \sqrt{\frac{\mu F_{b}}{mr}}\)

Nu we dat weten kan je gaan kijken naar hoe het zit met hoeksnelheid, hoekversnelling en hoek. Ik neem aan dat de stier met een constante hoekversnelling versnelt. Er geldt:

\(\omega=\frac{d \theta}{dt}\)

ofwel

\(dt=\frac{d \theta}{\omega}\)

(1) Ook geldt:

\(\alpha=\frac{d \omega}{dt}\)

ofwel

\(dt=\frac{d \omega}{\alpha}\)

(2)

Uit (1) en (2) volgt:

\(\frac{d \theta}{\omega}=\frac{d\omega}{\theta}\)

ofwel

\(\alpha d \theta=\omega d \omega\)

Beide kanten integreren:

\(\int \alpha d \theta = \int \omega d \omega\)

dus

\(\alpha \theta = \frac{1}{2} \omega ^2+C\)

C is gelijk aan nul aangezien ik aanneem dat de stier met beginsnelheid gelijk aan nul begint. Dan volgt dus:

\(\omega= \sqrt{2 \alpha \theta}\)

ofwel

\(\alpha = \frac{\omega ^2}{2 \theta}\)

(3)

Voor de hoekversnelling geldt:

\(M=I \alpha\)

Uit combineren met (3) volgt dan:

\(M=\frac{\omega ^2 I}{2 \theta}\)

Verder was eerder berekend dat

\(\omega > \sqrt{\frac{\mu F_{b}}{mr}}\)

Deze twee combineren leidt tot:

\(M>\frac{\mu F_{b} I}{2mr \theta}\)

Je kunt nu dus zelf invullen na welke hoek je op de snelheid wilt zitten waarop de persoon wordt afgeslingerd. Daar rolt dan vanzelf een aandrijfkoppel uit.

Symbolen:

\(F_{c}\)

=centrifugaalkracht

\(F_{w}\)

=wrijvingskracht tussen benen en stier

\(m\)

=massa

\(\omega\)

=hoeksnelheid

\(r\)

=afstand tussen persoon en draaipunt

\(\mu\)

=wrijvingscoëfficiënt

\(F_{b}\)

=klemkracht benen

\(\theta\)

=hoek (radialen)

\(\alpha\)

=hoekversnelling

\(M\)

=koppel

\(I\)

=traagheidsmoment

In de praktijk denk ik eerder dat mensen worden afgeslingerd door hoekversnellingen.

Als je wilt kijken naar het afslingeren van mensen door hoekversnellingen, dan heb je nog wat meer gegevens nodig. Namelijk de positie van het zwaartepunt van de persoon en ook de positie van het aangrijpingspunt van de wrijvingskracht tussen benen en stier.

[Sjakko]

edit: oja, iets wat ik me net bedenk: Ik weet niet precies hoe ik die klemkracht moet opvatten. Is dat de kracht die 1 been loodrecht op de romp van de stier uitoefent? In dat geval zit ik er een factor twee naast, want dan geldt:

\(F_{w}=2 \mu F_{b}\)

en wordt het eindantwoord

\(M>\frac{\mu F_{b} I}{mr \theta}\)

[rogierm]

Ik was al een eindje gekomen maar dit is echt een top !!! uitleg.

Bedankt Sjakko !!

[Sjakko]

Is het niet een beetje onrealistisch om te denken dat je puur door de centrifugale kracht wordt afgeslingerd? Ik denk dat vooral grote hoekversnellingen in combinatie met plotselinge veranderingen van hoekversnellingen het afwerpen bewerkstelligt. Ga je daar nog aan rekenen?

[rogierm]

Daar heb jij wel gelijk in dat je door de richtingsverandering er af wordt geworpen. En inderdaad, door een grote hoekversnelling wordt je er ook vanaf gegooid. Wij zijn nu uitgegaan van een constante versnelling en hebben deze aan de hand van de snelheid de hoekversnelling uitgerekend om er na 180 graden te worden afgegooid. Dit met de formule :

ω²=ω0 * 2 * α * Θ.

Het moment was voor ons erg belangrijk om verder te gaan rekenen aan tandwielen, constructieberekeningen, lagerberekeningen, enz

Ik ben erg blij met je snelle antwoord en hoop misschien later nog eens wat van je te horen.

Groet,

Rogier

[Sjakko]

Dit met de formule :

ω²=ω0 * 2 * α * Θ.

Hoe kom je aan die formule? Volgens mij klopt hij niet namelijk. Dimensioneel in elk geval niet (links s^-2, rechts s^-3)

[rogierm]

Volgens het dynamicaboek van hibbeler: beweging van een star lichaam om een vaste as bij een constante versnelling kan je deze formule gebruiken om van een hoeksnelheid naar een hoekversnelling te rekenen. We hebben gezegd dat na een hoek van 180 graden de persoon er af moet vliegen.

En is er in jouw uitleg ook rekening gehouden met de massa van de persoon op de stier?

[rogierm]

Volgens het dynamicaboek van hibbeler: beweging van een star lichaam om een vaste as bij een constante versnelling kan je deze formule gebruiken om van een hoeksnelheid naar een hoekversnelling te rekenen. We hebben gezegd dat na een hoek van 180 graden de persoon er af moet vliegen.

En is er in jouw uitleg ook rekening gehouden met de massa van de persoon op de stier?

Ik heb hem dan berend als volgt:

alpha = omega^2 / 2 * teta (aangezien de beginsnelheid 0 is)

voor teta geldt dan pie.

[Sjakko]

Dit met de formule :

ω²=ω0 * 2 * α * Θ.

Ik vind het maar vreemd, volgens mij kloppen de eenheden namelijk niet. En over de massa van de persoon: Ik heb aangenomen dat die al in de massatraagheid zat verwerkt. Zo niet, dan moet je hier ook gegevens over hebben. Desnoods zie je het als een puntmassa en gebruik je

\(I=mr^2\)

Ik heb hem dan berend als volgt:

alpha = omega^2 / 2 * teta (aangezien de beginsnelheid 0 is)

voor teta geldt dan pie.

Ja zo zou ik het ook doen, maar dat komt niet overeen met je eerdere formule die je uit het boek van Hibbeler hebt.

[rogierm]

Ik vind het maar vreemd, volgens mij kloppen de eenheden namelijk niet. En over de massa van de persoon: Ik heb aangenomen dat die al in de massatraagheid zat verwerkt. Zo niet, dan moet je hier ook gegevens over hebben. Desnoods zie je het als een puntmassa en gebruik je

\(I=mr^2\)

voor de persoon op de stier, maar dat is niet erg nauwkeurig.

Ja zo zou ik het ook doen, maar dat komt niet overeen met je eerdere formule die je uit het boek van Hibbeler hebt.

Je hebt gelijk. ik heb een vermenigvuldiging verwisseld met een plus teken.

ω²=ω0 + 2 * α * Θ.

mijn excuses

[Sjakko]

Volgens mij mis je nog een kwadraatje. Dan kloppen de eenheden ook. Eerder kwam ik op

\(\alpha \theta = \frac{1}{2} \omega ^2+C\)

Er moet gelden:

\(\omega (\theta=0)=\omega_{0}\)

Invullen, daaruit volgt:

\(C=-\frac{1}{2}\omega^2\)

dus:

\(\theta \alpha = \frac{1}{2} \omega^2-\frac{1}{2} \omega_{0}^2\)

ofwel

\(\omega^2=\omega_{0}^2 + 2 \theta \alpha\)