Van differentiaalvergelijking naar plaats-tijdfunctie

[Axioma]

Beste mensen,

Wie van jullie kan mij ook alweer via vergelijkingen laten zien hoe men van een differentiaalvergelijking een plaats-tijd functie afleidt?

Persoonlijk vind ik dit een van de mooiste onderwerpen van de Natuurkunde: het toepassen van de wiskunde om formules af te leiden. Op het VWO zijn we allemaal grootgebracht door klakkeloos formules in te vullen, maar de leukste vraag is eigenlijk: hoe kom je aan een formule?

Ik zal kort even ongeveer vertellen wat ik bedoel en ik hoop dat iemand hier het beter kan uitleggen.

Stel ik heb een ronde bal die over de weg rolt. De eerste stap is door de krachten te tekenen die op de bal inwerken.

Men krijgt dan een formule zoals:

Ftot=Fa -Fw

Dan worden de krachten omgezet in formules die we kennen zoals: F=ma

Deze formules worden dan als differentiaalvergelijkingen opgeschreven zoals dx/dt. Daarna wordt geintegreert en verkrijgt men de uiteindelijke formule:

X(t)=1/2at^2+at+x(0)

Kan iemand mij precies in stappen laten zien hoe dit gaat?

Groet,

Axioma

[Sjakko]

De formule die je geeft (ik bedoel

\(x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_{0}t+x_{0}\)

) is bedoeld voor een constante versnelling, dus:

\(\frac{d^2 x}{dt^2}=a\)

Eénmaal integreren:

\(\frac{dx}{dt}=at+C_{1}\)

Hier vul je een voorwaarde, namelijk

\(v(0)=v_{0}\)

dus

\(C_{1}=v_{0}\)

Nogmaals integreren:

\(x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_{0}t+C_{2}\)

Hier weer de voorwaarde invullen:

\(x(0)=x_{0}\)

dus

\(C_{2}=x_{0}\)

Uiteindelijk wordt het dan:

\(x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_{0}t+x_{0}\)

In dit geval is het simpel omdat de versnelling constant is. De versnelling kan ook een functie zijn van de plaats (massa aan veer) of van de snelheid (luchtweerstand op een massa). Dan wordt het al snel wat gecompliceerder.

[Axioma]

@Sjakko:

Dank je voor de uitleg, maar ik mis een aantal stappen (voor de volledigheid). Gewoon de overgang van formule

F(tot)=F1+F2+F3 enz. naar de X(t) formule. Daar gaat het mij met name om.

Is er anders een website waar dit duidelijker staat?

[TD]

Welke F's bedoel je hier? Sjakko gaat uit van een constante versnelling, wat is de opgave die jij bedoelt?

Met andere woorden: je moet duidelijk aangeven wat er gegeven is, waarvan moet je vertrekken?

[Axioma]

@TD:

Ok ik zal wat preciezer zijn. Even een andere situatie. Iets complexer.

Stel ik heb een regendruppel die valt omlaag vanaf een hoogte van 100meter. Op deze regendruppel werken verschillende krachten: de valversnelling, wrijvingskracht en nog een extra kracht veroorzaakt door de wind die pas inwerkt vanaf 90 meter en een niet-constante versnelling omlaag heeft. Om het niet al te moeilijk te maken gaat deze druppel dus loodrecht omlaag.

Als men weet welke krachten erop werken kan men een plaats-tijd functie bepalen voor deze (eigenlijk elke mogelijke) val.

Nu is mijn vraag: wat is de plaats-tijd functie voor deze val? Stap voor stap uitleg graag. Deze methode is vaak verwaarloost op het VWO, wat ik erg jammer vind. Hier kan men een hoop van leren. Vaak worden formules gewoon kant en klaar aangeboden waar men niets van leert vind ik. Een middelbare scholier gaat dan gauw denken dat elke val dezelfde forumule heeft, wat natuurlijk niet het geval is (omdat vaak veel dingen verwaarloosd worden).

[Sjakko]

Goed, ik zal de eerste 10 meter voor doen, want we weten niet wat er na 10m gebeurt.

De druppel wordt 100m boven de grond losgelaten met snelheid 0. x(t) is de afgelegde afstand als functie van de tijd. Ik neem voor de wrijvingskracht even Fw=kv om het niet onnodig ingewikkeld te maken. Verder v=dx/dt.

Uit de tweede wet van Newton volgt: zwaartekracht-wrijvingskracht=massa maal versnelling, in formules:

\(m \frac{d^2 x}{dt^2}=g-\frac{k}{m}v\)

\(v=\frac{dx}{dt}\)

dus

\(\frac{d v}{d t}=g-\frac{k}{m}v\)

ofwel

\(\frac{d v}{g-\frac{k}{m}v}=dt\)

Beide kanten integreren:

\(- \frac{m}{k}ln \left( g- \frac{k}{m}v \right)=t+C_{1}\)

Er geldt:

\(v(t=0)=0\)

dus

\(C_{1}=- \frac{m}{k}ln g \)

Als je dit invult dan volgt:

\(\frac{m}{k}ln g - \frac{m}{k}ln \left( \frac{k}{m}v-g \right)=t\)

ofwel

\(ln \left( \frac {g}{g-\frac{k}{m}v} \right)= \frac{k}{m}t\)

dus

\(\frac {g}{g-\frac{k}{m}v}=e^{\frac{k}{m}t}\)

dus

\(v(t)=\frac{mg}{k} \left( 1-e^{- \frac{k}{m}t} \right)\)

Nu gebruik je weer

\(v=\frac{dx}{dt}\)

dus

\(\frac{dx}{dt}=\frac{mg}{k} \left( 1-e^{- \frac{k}{m}t} \right)\)

ofwel

\(\int dx=\frac{mg}{k} \int \left( 1-e^{- \frac{k}{m}t} \right) dt\)

\(x(t)=\frac{mg}{k} \left( t+ \frac{m}{k}e^{- \frac{k}{m}t} \right) + C_{2}\)

Gebruik nu x(0)=0 daaruit volgt:

\(C_{2}=-g \left( \frac{m}{k} \right) ^2\)

\(x(t)=\frac{mg}{k} \left( t+ \frac{m}{k} \left( e^{- \frac{k}{m}t} -1 \right) \right) \)

Hopen dat er geen foutje in zit. Er is ongetwijfeld wiskundig wel het 1 en ander op aan te merken, maar dit is een beetje het idee. Als je de hoogte als functie van tijd wilt hebben dan neem je h(t)=100-x(t) Zoals gezegd geldt deze formule dus alleen de eerste 10 meter. Verder kun je als wrijvingskracht nog kv^2 nemen, maar dan wordt de berekening nog langer en het gaat om het idee.

[Axioma]

Dank je Sjakko. Moet nog even goed kijken hoe het precies in elkaar zit. Voor jouw is dit denk ik een eitje maar voor velen die geen Universitaire Wiskunde hebben gehad is dit wel andere koek.

Had niet verwacht dat de e-macht erbij betrokken zou zijn.

Bizar eigenlijk, dat je van een simpele formule als Fz-Fw=ma zo een ingewikkelde deductie kan maken, ik vind het eigenlijk erg mooi om te zien hoe je met een wiskundige methode verbanden kunt leggen tussen formules.

[Phys]

Natuurkunde op universitair niveau is niet anders: wiskunde is nu eenmaal de taal van fysica. Totaal niet te vergelijken met VWO natuurlijk.

[Axioma]

@Sjakko

voor a gebruik je deze formule=

(d^2 x)/(dt^2 )

Ik heb het ongeveer zo herleid:

a=v/t=(dx/dt)/(dt/d)=dx/dt∙d/dt=(d^2 x)/(dt^2 )

Mag men dit zo noteren?

[TD]

voor a gebruik je deze formule=

(d^2 x)/(dt^2 )

Ik heb het ongeveer zo herleid:

a=v/t=(dx/dt)/(dt/d)=dx/dt∙d/dt=(d^2 x)/(dt^2 )

Die "dt/d" stelt niet echt iets voor. De ogenblikkelijke versnelling is trouwens niet v/t, maar dv/dt:

\(a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( v \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right) = \frac{{d^2 x}}{{dt^2 }}\)

[Axioma]

Thanks TD ik dacht dat ik 1/t ook kon schrijven als d/dt, je vermenigvuldigd gewoon boven en onder met d. Maar wiskundig bestaat dit niet. Ik krijg wel dezelfde uitkomst.

[TD]

Die "d" is geen variabele, maar een symbool. Je moet d/dx ook als notatie zien, niet als breuk waar je d kan schrappen.

[Axioma]

Die "d" is geen variabele, maar een symbool. Je moet d/dx ook als notatie zien, niet als breuk waar je d kan schrappen.

Hetzelfde als dat x(t) ook een symbool is, zeg maar. Ik vind de notaties erg raar eigenlijk. Het eindresultaat: d^2 suggereert dat d vermenigvuldigd is met zichzelf, wat volgens jou niet klopt dus. Want je kan alleen variabelen vermenigvuldigen, toch?

[TD]

Klopt, je moet dat niet zien als een kwadraat. Het is een notatie voor de tweede afgeleide.

[Sjengfred]

Goed, ik zal de eerste 10 meter voor doen, want we weten niet wat er na 10m gebeurt.

De druppel wordt 100m boven de grond losgelaten met snelheid 0. x(t) is de afgelegde afstand als functie van de tijd. Ik neem voor de wrijvingskracht even Fw=kv om het niet onnodig ingewikkeld te maken. Verder v=dx/dt.

Uit de tweede wet van Newton volgt: zwaartekracht-wrijvingskracht=massa maal versnelling, in formules:

Hallo,

Ik ben momenteel met een soortgelijke opdracht, alleen heb ik als wrijvingskracht inderdaad kv^2 en nu kom ik er niet uit. Ik weet niet hoe ik deze functie nu moet integreren (regel 3-4 van Sjakko's berekening). Kan iemand mij hiermee helpen, dan denk ik dat het verder wel lukt.