Oppervlakte cirkel

[ametim]

Ik had een vraagje mbt de volgende formule(oppervlakte cirkel zonder om te zetten naar poolcoordinaten):

\(x^2+y^2=1 \)

\(4 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx\)

stel

\( x=\sin {(t)} \)

\(4 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{\cos ^2{(t)}} \cdot \cos ({t}) dt = 4 \cdot \int_{0}^{1} \cos ^2({t}) dt \)

\(4 \cdot (\int_{0}^{1} \frac{1}{2}dt + \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} \cos ({2t})dt)\)

\( 2 + \frac{1}{4} \sin (2) \neq \pi\)

Waar ga ik de mist in

[stoker]

als je een substitutie doet, moet je je grenzen ook vervangen.

[TD]

Ofwel doe je dat niet, zoek je na de substitutie de onbepaalde integraal, substitueer je dan terug naar de eerste veranderlijke waarbij je dan de oorspronkelijke grenzen voor kan gebruiken.

[ametim]

oja

dus dan krijg je:

\( x=\sin (t) \)

Ofwel doe je dat niet, zoek je na de substitutie de onbepaalde integraal, substitueer je dan terug naar de eerste veranderlijke waarbij je dan de oorspronkelijke grenzen voor kan gebruiken.

TD hoe had je dit in gedachten.

dan moet je cos(2t) weer omzetten naar x?

[TD]

Als de substitutie x = sin(t) is, dan is t = Bgsin(x) of arcsin(x).

[ametim]

Dat dacht ik al:)

Alleen hoe zet je dan cos(2t) weer om?

[TD]

Je hebt een uitdrukking voor t. Eventueel vereenvoudig je via cos(2t) = 1-2sin²(t).

[ametim]

Ik kom er niet helemaal uit:( zou je misschien een zetje in de rug willen geven.

[TD]

Als x = sin(t), dan is t = arcsin(x). Dan wordt:

\(\cos \left( {2t} \right) = 1 - 2\left( {\sin t} \right)^2 \to 1 - 2\left( {\sin \arcsin x} \right)^2 = 1 - 2x^2 \)

[ametim]

Ik kom dan uit op het volgende:

\(4\cdot (\int_{0}^{1}\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(x)dx-2\int_{0}^{1}x^2\cdot\cos(x)dx)\)

Ben ik op de goede weg?

[TD]

Ik weet niet wat je nu aan het doen bent. Je doet de substitutie x = sin(t), dan moet je:

- ofwel de grenzen van x naar t mee aanpassen en de bepaalde integraal zo direct uitrekenen.

- de onbepaalde integraal in t bepalen, terug substitueren naar x en de oude grenzen gebruiken.

[ametim]

Ik was aan het terug substitueren om zodoende weer de oorspronkelijke grenzen gebruiken...

Dan moet je dt ook weer omzetten naar dx toch? zodoende kwam ik op de integraal hierboven.

[TD]

Dat (terug substitueren) moet je doen nadat je de (onbepaalde) integraal in t bepaald hebt.

[ametim]

Zou je het misschien voor willen ik kom er niet uit!

[ametim]

p.s. waar zit de edit knop?