Oppervlakte cirkel

[TD]

Zou je het misschien voor willen ik kom er niet uit!

Geef dan eens eerst duidelijk aan bij welke stap je nu vast zit.

p.s. waar zit de edit knop?

Rechts onder je bericht, een knop "wijzig".

[ametim]

Hmm mac met firefox... de knop is nergens te vinden

Waar ik vast zit is hier:

de onbepaalde integraal is deze:

\(4\cdot(\int\frac{1}{2}dt+\frac{1}{2}\int \cos(2t)dt)\)

\(x=\sin(t) \)

\(dx=\cos(t)dt\)

\(\frac{1}{\cos(t)}\cdot dx=dt\)

\(4\cdot\int\frac{1}{2cos(t)}dx\)

Volgens mij is wat ik hier doe al niet de bedoeling ?

[TD]

Nu volg ik toch niet meer, gaat dit nog over die cirkel? De integraal was:

\(4\int_0^1 {\sqrt {1 - x^2 } dx} \)

Nu doe je de substitutie x = sin(t).

Mogelijkheid 1: je past ook de grenzen aan in functie van t, de nieuwe bepaalde integraal die je dan krijgt kan je direct uitwerken zonder nog aan x te moeten denken. Je integreert immers naar t en gebruikt dan de grenzen van t om de integraal uit te rekenen.

Mogelijkheid 2: je past de grenzen niet aan en werkt verder met de "onbepaalde integraal". Je doet de subsitutie en zoekt dan gewoon de primitieve van je functie die nu in t zal zijn. Als je dat gedaan hebt, ga je terug van t naar x om de oorspronkelijke grenzen te gebruiken.

[Morzon]

Edit: Methode twee van TD.

Substitutie:

\(x= \sin{t} \)

en dus is

\(\cos{t}=\sqrt{1-x^2} \)

\(\int \sqrt{1-x^2} \ dx = \int \sqrt{1- \sin^2{t}} \cos{t} \ dt=\int \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos{2t} \ dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4} \sin{2t} \)

<--- onbepaalde integraal uitgewerkt.

Nu volgt uit de substitutie (we geaan weer terug naar x) dat

\(t=\arcsin{x}, \sin{2t}=2x \sqrt{1-x^2} \)

Dus de oplossing voor je onbepaalde integraal wordt :

\(\frac{1}{2} \arcsin{x} +\frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}\)

Grenzen erbij:

\(\left[ \frac{1}{2} \arcsin{x} +\frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2} \right]_0^1=\frac{1}{2} \pi\)

<-- oppervlakte halve cirkel.

[TD]

\(\left[ \frac{1}{2} \arcsin{x} +\frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2} \right]_0^1=\frac{1}{2} \pi\)

<-- oppervlakte halve cirkel.

Kwartcirkel Verder wel wat ik bedoelde, alleen hoopte ik dat ametim daar zelf achter kon komen...

[ametim]

Het gaat om mogelijkheid 2. Op daarna van t terug te gaan naar x lukt me niet.

Ik kom dan op:

\(4\cdot\int\cos^2(t)dt=2\cdot\int\frac{1}{2}cos(2t)-\frac{1}{2}dt\)

Ik zie nu dat jij de substitie andersom doet:

\(x=\sin(t)t=\sin(x)\)

[Morzon]

Kwartcirkel Verder wel wat ik bedoelde, alleen hoopte ik dat ametim daar zelf achter kon komen...

owja 0 tot 1.

Alleen snap ik niet hoe dit "zonder poolcoordinaten" is.

[TD]

In poolcoördinaten is de oppervlakte van een cirkel gewoon:

\(\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {rdrdt} } \)

Je doet het hier cartesisch, maar wel via een goniometrische substitutie.

[Morzon]

Het gaat om mogelijkheid 2. Op daarna van t terug te gaan naar x lukt me niet.

Ik kom dan op:

\(4\cdot\int\cos^2(t)dt=2\cdot\int\frac{1}{2}cos(2t)-\frac{1}{2}dt\)

Ik zie nu dat jij de substitie andersom doet:

\(x=\sin(t)t=\sin(x)\)

\(\cos^2{t}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos{2t} \)

Heb je mijn vorige post gezien?

Maar om terug naar x te gaan maak je gewoon gebruik van je substitutie:

\(x=\sin{t} \)

Eerst wil je weten wat t uitgedrukt in x is. En dat is de inverse van sin(x), arcins(x) of bgsin (boogsinus).

En dan kan je dus ook cos(t) in x uitdrukken.

[TD]

Het gaat om mogelijkheid 2. Op daarna van t terug te gaan naar x lukt me niet.

Ik kom dan op:

\(4\cdot\int\cos^2(t)dt=2\cdot\int\frac{1}{2}cos(2t)-\frac{1}{2}dt\)

Op dit punt moet je ook helemaal nog niet terug van t naar x.

Eerst werk je deze onbepaalde integraal in t volledig uit.

[ametim]

Heel erg bedankt voor al deze moeite:)

nog 1 vraagje:

\(t=\arcsin(x)\)

\(\sin(2(\arcsin(x)))=2x\sqrt{1-x^2}\)

Waarom geldt dit?

[TD]

Via de dubbelehoek-formule van de sinus en de hoofdformule, geldt:

\(\sin \left( {2t} \right) = 2\sin t\cos t = 2\sin t\sqrt {1 - \sin ^2 t} \)

Nu t vervangen door arcsin(x), dus elke sin(t) gewoon door x.

[Morzon]

In poolcoördinaten is de oppervlakte van een cirkel gewoon:

\(\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {rdrdt} } \)

Je doet het hier cartesisch, maar wel via een goniometrische substitutie.

Ik dacht zo: een goniometrische substitutie is gewoon een speciaal geval van poolcoordinaten.

[ametim]

Nu snap ik 'm helemaal het duurde even

TD en Morzon bedankt!

[TD]

Ik dacht zo: een goniometrische substitutie is gewoon een speciaal geval van poolcoordinaten.

Je gebruikt niet expliciet een ander coördinatensysteem, gewoon een (bijzondere) substitutie voor integralen.

Hoewel de analogie duidelijk is, maak je ook niet echt gebruik van poolcoördinaten (dat is x = r.cos(t) en y = r.sin(t)).