Meetkundig gemiddelde < of = gelijk rekenkundig gemiddelde

[kotje]

Bewijs:

\(\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}\mbox{ daarbij x,y,z groter 0}\)

[EvilBro]

Beide kanten tot de derde macht nemen en de macht aan de rechterkant uitwerken. Daarna lijkt het me appeltje eitje...

[kotje]

Beide kanten tot de derde macht nemen en de macht aan de rechterkant uitwerken. Daarna lijkt het me appeltje eitje...

Voor mij ziet dit er niet zo gemakkelijk uit. Ik meen dat het bewijs even moeilijk of gemakkelijk blijft na de uitwerking.

[kotje]

Ik meen uiteindelijk de oplossing te hebben.

Bewijzen we eerst met Lagrange multiplicatoren dat als 3 getallen een constante som S hebben dan hun produkt maximaal is als ze gelijk zijn.

f(x,y,z)=xyz

g(x,y,z)=x+y+z=S

\(\nabla\mbox{f}=\lambda\nabla\mbox{g}\mbox{; x+y+z=S }\)

Uit die 2 vgl berekent men gemakkelijk dat produkt max als x=y=z.

Neem nu 3 getallen x,y,z. Als x+y+z=S dan is hun rekenkundig gemiddelde S/3 als tenminste hun som constant blijft. Hun produkt is max als ze gelijk zijn b.v x³ dan is hun rekenkundig gemiddelde x en is hun meetkundig gemiddelde max en gelijk x. Als we nu de getallen ongelijk nemen maar met som S, blijft hun rekenkundig gemiddelde zelfde maar volgens bovenstaande hun produkt kleiner en het is juist dit dat gevraagd is.

Ik meen zelfs dat dit te veralgemenen is voor een willekeurig aantal getallen.

[jhnbk]

lijkt mij een juist redenering

[TD]

Voor de methode met de Lagrangemultiplicatoren, zie ook hier.

Planetmath heeft ook een aardig meetkundig bewijs, zie hier.

[PeterPan]

Aan te tonen:

\(\sqrt[3]{a_1a_2a_3}\leq\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\mbox{ daarbij } a_1,a_2,a_3 \geq 0\)

Zeg

\(r = \frac{a_1+a_2+a_3}{3}\)

en

\(m = \sqrt[3]{a_1a_2a_3}\)

.

Tte bewijzen:

\(r \geq m\)

Zoals bekend geldt

\(e^x \geq 1+x\)

, dus

\(\mbox{exp}(\frac{a_i}{r}-1) \geq \frac{a_i}{r}\)

voor alle i.

Dan is

\(\prod_{i=1}^3{\mbox{exp}(\frac{a_i}{r}-1)} = \mbox{ exp}{(\frac{a_1+a_2+a_3}{r}-3)} \geq \frac{a_1a_2a_3}{r^3}\)

ofwel

\(1 \geq \frac{m^3}{r^3}\)

en dus

\(r \geq m\)