Tijdsverschil

[Jeroen]

Ik vroeg me af, of relatief gezien de tijd van een planeet dicht bij een ster, tov een planeet ver van een ster, verschilt?

Loopt de tijd relatief gezien op mercurius bijvoorbeeld trager dan bij ons.

Zou het dan ook zo zijn, dat de tijd voor sterren dichtbij het centrum van ons sterrenstelsel trager loopt (relatief gezien dus)?

Ik herinner me wel iets van dat zwaartekracht ook invloed heeft op tijdsbeleving. Het geld blijkbaar wel voor objecten in vrije val dacht ik, dus ik dacht, dan moet het toch ook gelden voor planeten en sterren, aangezien deze "vallen" om hun ster of ander zwaar object.

[Lucas N]

In de tweelingparadox (SRT) is er een schijnbare tegenstrijdigheid, omdat de eigentijd van de reizende helft van de tweeling minder verstrijkt dan die van de achterblijvende, terwijl ze, ten opzichte van elkaar de zelfde soort beweging uitvoeren.

De ontzenuwing van de tegenstrijdigheid zit hem erin dat de reizende tweeling versnelt en vertraagt en versnelt en vertraagt. Dus zijn hun geschiedenissen niet symmetrisch.

Conclusie: Versnelling, gaan van het ene naar het andere inertiaalstelsel, doet je eigentijd langzamer lopen.

In Algemene relativiteit, zijn krachten t.g.v. versnellingen en krachten t.g.v. zwaartekrachten niet te onderscheiden.

Gevolg: een sterk zwaartekrachtsveld doet je eigentijd langzamer verstrijken.

Verder van de zon verstrijkt de tijd dus sneller.

[eendavid]

Het is in principe iets ingewikkelder (maar je hebt gelijk). De planeten ondervinden in de beschrijving van AR niet echt een versnelling: ze volgend juist het pad van de geodeten. De redenering die je toepast is perfect voor een stilstaande planeet. (of voor onze metingen: voor stilstaande klokken op aarde en hoger) In principe is het de kromming van de tijd die dominant is, dus je redenering zal zeker bij benadering juist zijn (en kromming t.g.v. ruimtelijke kromming en beweging zullen er een kleine perturbatie op brengen).

Wat ik bedoel is het volgende. We kunnen vertrekkende van de schwarzschildmetriek de infinitesimale verandering van een eigentijd berekenen na een infinitesimale verandering van de eigentijd van een stilstaande waarnemer op oneindig. Voor de roterende planeten volgt (letterlijk invullen in de schwarzschildformule, die je bijvoorbeeld op wikipedia vindt):

\(c^2d\tau^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^2c^2dt^2-r^2\omega^2dt^2\)

Passen we Keplers wet toe (benadering)

\(\omega^2\propto\frac{1}{r^3}\)

Dan zien we dat beide effecten in dezelfde richting werken (kleinere r= kleinere tijdsaanduiding op klok tussen 2 gebeurtenissen die volgens een waarnemer op oneindig even lang duurden).

Het (correcte) verhaal dat Lucas bracht is een verhaal zonder de (kleine) 2de term in de vergelijking. Al bij al misschien een opmerking die naar muggenziften nijgt (maar die hopelijk ook verduidelijkend werkt voor hoe je zoiets wiskundig inziet).

[Jeroen]

Ok, dit gaat wel de interessante kant op, maar ik begrijp het nog niet helemaal. Wat is bijvoorbeeld die omega in de vergelijking? Is hier het tijdsverschil tussen de twee klokken te halen?

r_s is dus de schwartzschildstraal van het massieve object, maar wat is r dan? Op wiki staat: "circumference of a circle centered on the star divided by 2π" Wat is de "circumference" van een cirkel?

Kunnen we als voorbeeld een ster op kleine afstand van een zwart gat nemen(klok1) en als stilstaande observeerder in het oneindige gewoon de aarde ofzo(klok2). Dan is r_s dus de swatzschildstraal van dat zwarte gat... Wat is r hier?

[Jeroen]

nog een vraagje:

In de metriek op wiki staan nog meer termen, ook met hoeken erin, wat is daarmee gebeurd?

[eendavid]

De dominante afwijking is natuurlijk degene die ontstaat door het verhaaltje dat Lucas bracht (en dat ik enkel wat nauwkeurig wilde uitwerken). r staat voor de schwarzschildcoördinaat, wat de bolcoördinaat is volgens een waarnemer die zich op oneindig bevindt in rust tov de massa (net zoals de t en de hoekcoördinaten de corresponderende betekenis hebben). Je kan het ook geometrisch interpreteren ivm omtrek (wat op wiki staat).

\(\omega\)

duidt de hoeksnelheid aan.

De andere termen verdwijnen omdat de corresponderende coördinaat een constante is in het probleem.