Verzamelingen punten

[Rogier]

Ik neem de definitie die ik in al de boeken, die ik tot nu toe gezien heb: een verzameling punten is gesloten als ze (al) haar grenspunten bevat. De linken die gij en TD geeft wijst erop dat deze definitie niet voldoende is.

Jawel, die definities komen op hetzelfde neer.

Wat moet men bv. doen met R en de ledige verzameling(geen grenspunten).

De lege verzameling ( ) bevat al haar grenspunten (het zijn er nul), dus is gesloten.

Men past de definitie aan en komt tegen alle logica in met verzamelingen die zowel gesloten als open zijn.

Daar zit de denkfout

Dat is niet tegen alle logica in. Misschien lijkt dat zo omdat "open" en "gesloten" taalkundig elkaars tegenpolen zijn, maar nogmaals: voor verzameling geldt dat open en gesloten twee onafhankelijke eigenschappen zijn.

Je zou er ook twee andere woorden voor kunnen nemen als dat minder verwarrend werkt. Vergeet even de woorden "open" en "gesloten" en de associaties die je daarbij hebt, en noem bijvoorbeeld een verzameling "zacht" als hij de omgeving van ieder element omvat, en "volledig" als hij ieder grenspunt bevat. Vind je het nu nog steeds zo onlogisch dat een verzameling tegelijk zacht EN volledig kan zijn? Of juist geen van beide?

Dan komt er iemand met een vlakke strip en volgens die definitie moet die close zijn omdat het complement open is. Voor mij is dit al goed.

Voor wie niet dan? Zoals door EvilBro al is aangetoond is die strip wel gesloten, en niet open (wat -nogmaals- twee onafhankelijke eigenschappen zijn!)

Ik zou toch graag eens de visie willen horen van PeterPan,tenminste als hij één heeft.

Je begrijpt dat ik moeilijkheden heb met het volgende: R is open omdat kappa.gif gesloten is en R is gesloten omdat kappa.gif open is. Ik probeer pragmatisch te blijven.

Wat bedoel je met

\("\kappa"\)

, de lege verzameling? (die noteren we doorgaans met [leeg]: )

Als ze niet open is dan is ze gesloten dat is logisch,

Nee, juist niet dus. Zie boven (ik heb voor de duidelijkheid nog even een opmerking onder mijn vorige post toegevoegd)

[EvilBro]

Ik neem de definitie die ik in al de boeken, die ik tot nu toe gezien heb: een verzameling punten is gesloten als ze (al) haar grenspunten bevat.

Zoals al gezegd is deze definitie equivalent met de definitie die hier tot nu toe gegeven is. Dit staat ook in de link die ik gegeven had.

There are several equivalent definitions of a closed set. Let S be a subset of a metric space. A set S is closed if

1. The complement of S is an open set,

2. S is its own set closure,

3. Sequences/nets/filters in S that converge do so within S,

4. Every point outside S has a neighborhood disjoint from S.

Definitie 2 is degene die jij wilt gebruiken. Misschien is het aardig als je voor jezelf een bewijs maakt dat deze definitie gelijk is aan definitie 1.

De linken die gij en TD geeft wijst erop dat deze definitie niet voldoende is.

Dan moet je die links nog maar eens goed lezen.

Men past de definitie aan

Nee. Men past de definities niet aan. Ook met de door jouw gebruikte definitie zijn deze verzamelingen zowel open als gesloten. Open want elk punt heeft een epsilon omgeving binnen de verzameling. Gesloten want alle grenspunten behoren tot de verzameling. Als je denkt een tegenbewijs te kunnen leveren, geef dan maar eens een grenspunt dat niet tot de verzameling behoort.

Je begrijpt dat ik moeilijkheden heb met het volgende: R is open omdat kappa.gif gesloten is en R is gesloten omdat kappa.gif open is. Ik probeer pragmatisch te blijven.

Het probleem is dat je dat doet met een idee dat niet klopt. Een verzameling kan zowel open als gesloten zijn. Dit is een logisch gevolg van de definities van wat open en gesloten betekenen. Als je een ander resultaat wilt, zul je moeten beginnen met andere definities voor open en gesloten. Dit lijk je echter niet te willen (gegeven je definitie voor gesloten).

[kotje]

Rogier schreef:

De lege verzameling ( ) bevat al haar grenspunten (het zijn er nul), dus is gesloten.

Zeer eigenaardig de lege verzameling ( ) bevat geen grenspunten (het zijn er nul), dus is open.

En probeer dit eens voor

\(\rr\)

[Rogier]

Twee fouten:

Zeer eigenaardig de lege verzameling ( ) bevat geen grenspunten (het zijn er nul),

Dat zegt niets. Het gaat erom dat er geen grenspunten van de verzameling zijn die buiten de verzameling liggen. Dat is per definitie het geval als de verzameling geen grenspunten (of zelfs helemaal geen punten) heeft. Daarom is gesloten.

dus is open.

is wel open, maar die "dus" is hier niet op z'n plaats. Het open-zijn heeft niets met grenspunten te maken.

En probeer dit eens voor

\(\rr\)

Ieder grenspunt (eigenlijk is het beter om het over convergentiepunten of attractiepunten te hebben) zit in , dus is gesloten.

En de omgeving van ieder punt van zit ook in , dus is open.

[EvilBro]

Grenspunten van \(\rr\)? Noem er eens 1...

[TD]

En met grenspunten zouden dan "convergentiepunten of attractiepunten" bedoeld worden?

Ik ken hiervoor eerder de begrippen "ophopingspunt", "verdichtingspunt" of "limietpunt".

[Rogier]

Grenspunten van \(\rr\)? Noem er eens 1...

Beetje verwarrend, ik hou eigenlijk niet zo van die term grenspunt in dit verband. Ik bedoelde geloof ik wat officieel "verdichtingspunt" heet (bedankt TD).

Maakt overigens niet uit, aangezien er geen grenspunten van zijn, is er zeker geen die buiten de verzameling valt, dus is de verzameling gesloten

[EvilBro]

Maakt overigens niet uit, aangezien er geen grenspunten van zijn, is er zeker geen die buiten de verzameling valt, dus is de verzameling gesloten

Precies wat ik kotje wilde laten inzien.

[kotje]

Rogier schreef:

Maakt overigens niet uit, aangezien er geen grenspunten van zijn, is er zeker geen die buiten de verzameling valt, dus is de verzameling gesloten

Een grenspunt van een verzameling, die buiten die verzameling valt. Geef eens zo'n voorbeeld. Is dit dan misschien een open verzameling?

{- ,+ } is die open, close of misschien clopen.

[EvilBro]

Een grenspunt van een verzameling, die buiten die verzameling valt. Geef eens zo'n voorbeeld.

\(V = \{z | |z| < 1\}\)

De grenspunten van deze verzameling V:

\(\{z | |z| = 1\} \)

De grenspunten vallen buiten de verzameling V.

P.S. Als we dan toch bezig zijn kunnen we ook nog even een verzameling geven die open noch gesloten is. Bijvoorbeeld: [0,1)

[TD]

\(\left\{ {\frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}_0 } \right\}\)

Verdichtingspunt is 0, maar 0 zit niet in de verzameling.

[kotje]

Rogier schreef:

Een grenspunt van een verzameling, die buiten die verzameling valt. Geef eens zo'n voorbeeld. Is dit dan misschien een open verzameling?

{- ,+ } is die open, close of misschien clopen.

correctie(te vlug)

{- ,+ } is die open,close of misschien clopen?

[PeterPan]

Alles is relatief dus ook de begrippen open en gesloten.

Het interval (0,1) is gesloten t.o.v. (0,1).

Het interval (0,1] is open t.o.v. (0,2].

Een verzameling is open als je om elk punt A van die verzameling een bolletje kunt leggen dat geheel in die verzameling ligt.

Een bolletje in

\(\rr^n\)

om 0 met straal r heeft als vergelijking

\(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2=r^2\)

.

Een verzameling

\(X\)

is gesloten als het gelijk is aan de verzameling van limietpunten van rijen in

\(X\)

.

Je kunt aantonen dat X is gesloten hetzelfde zegt als

\(X^c\)

is open (binnen het gedefinieerde gebied).

Is

\([-\infty,\infty] \)

open of gesloten?

Die vraag is niet te beantwoorden, want ik weet niet wat een bolletje om

\(\infty\)

voorstelt.

Daar is wel iets op te verzinnen, maar dan moet je een andere definitie van afstand bedenken, waarbij de afstand tussen

\(-\infty\)

en

\(\infty\)

eindig wordt.

[EvilBro]

{- ,+ } is die open,close of misschien clopen?

Clopen, omdat het complement clopen is (zou ik toch denken).

[PeterPan]

Clopen, omdat het complement clopen is (zou ik toch denken).

t.o.v. welke metriek?

Correctie:

Een bolletje om 0 met straal r heeft als vergelijking

\(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2<r^2\)