Verzamelingen punten

[eendavid]

Het interval (0,1] is open t.o.v. (0,2].

Met standaard topologie?

[kotje]

PeterPan schreef:

Alles is relatief dus ook de begrippen open en gesloten.

Ik vind die uitspraak hier zeer toepasselijk.

Wat ik begrijp is dat de begrippen open en gesloten niet zo maar éénduidig te definieren zijn, zelfs als we in de vertrouwde metriek werken. Een bewijs dat men ook in de wiskunde soms te kort schiet om iets perfect te definieren.

[kotje]

Clopen, omdat het complement clopen is (zou ik toch denken).

Is het complement hier ook , zoals voor ?

[PeterPan]

PeterPan schreef:

Ik vind die uitspraak hier zeer toepasselijk.

Wat ik begrijp is dat de begrippen open en gesloten niet zo maar éénduidig te definieren zijn, zelfs als we in de vertrouwde metriek werken. Een bewijs dat men ook in de wiskunde soms te kort schiet om iets perfect te definieren.

De wiskunde schiet nergens te kort. Binnen het gegeven domein is alles perfect gedefinieerd.

De vergelijking

\(x^2=1\)

heeft 0,1 of 2 oplossingen. Dat hangt af van de definitiegebied.

Als je alleen oplossingen zoekt binnen (0,1) dan zijn er geen oplossingen.

Ook hier hebben we te maken met relativiteit.

En dat is geen bewijs dat men ook in de wiskunde soms te kort schiet om iets perfect te definieren.

[PeterPan]

Is het complement hier ook , zoals voor ?

De lege verzameling is altijd open en gesloten, want

Voor elk punt van die verzameling is er een bolletje enz. Klopt, want de verzameling heeft toch geen elementen.

De lege verzameling is gelijk aan de limieten van rijen uit de lege verzameling. Klopt, geef anders maar een tegenvoorbeeld.

[EvilBro]

Het interval (0,1] is open t.o.v. (0,2].

Ik zie niet goed hoe (0,1] open is. Er is toch geen epsilon omgeving om 1 die binnen (0,1] ligt.

Is het complement hier ook \(\emptyset\), zoals voor \(\rr\)?

Ja, de lege verzameling is het complement van het 'universum'.

[PeterPan]

Het interval (0,1] is geloten binnen (0,2] en open binnen (-1,1].

[kotje]

Het woord bewijs is misschien een beetje zwaar uitgedrukt. Ik ben ermee akkoord dat als men eerst het gebied bepaalt dan men iets perfect kan definieren, omdat men de uitzonderingen waar de definitie niet werkt kan uitsluiten. Ik ben er ook mee akkoord dat open en close niet te definieren zijn in [- ,+ ].

[PeterPan]

Men kan in

\([-\infty,\infty]\)

wel de begrippen open en gesloten definieren, maar dan moet je het begrip afstand anders uitleggen.

De afstand tussen 2 punten x en y was |x-y|.

Maar als je de afstand tussen x en y definieert als

\(|\arctan(x)-\arctan(y)|\)

en verder definieert

\(\arctan(\pm\infty)=\frac{\pm\pi}{2}\)

,

dan heb je een afstandsbegrip in

\(\rr\)

.

De open verzamelingen in de oude zin van het woord blijken dan ook open verzamelingen in deze nieuwe zin te zijn.

Alleen is nu bv

\((1,\infty]\)

ineens ook een open verzameling.