Uitmondingsnelheid v.e. projectiel

[Dirk Coolen]

Gegeven, standaard atmosfeer, windstil in ons landje (B of NL), een projectiel wordt afgevuurd en verlaat de loop met een bepaalde snelheid. Op 2,5 meter afstand heeft het projectiel een snelheid van 100 m/s. Het projectiel zelf is een perfecte bal met een gewicht van 0,2 gram en een diameter van 6 mm.

Gevraagd : Wat is de snelheid van het projectiel bij het buitenkomen van de loop, dus 2,5 meter eerder ?

Ik ga er van uit dat de luchtweerstand de enige kracht van invloed is op het horizontale traject (zwaartekracht even buiten beschouwing gelaten).

Ik heb alle 18 pagina's bekeken in de hoop een bepaalde formule te vinden waarmee ik mijn probleem zou kunnen oplossen, maar helaas ...



Voor de oplossing zit ik zelf te denken aan de wet van behoud van energie, dus de energie van het projectiel op 2,5 meter is 1 joule en dit moet gelijk zijn aan de som van de energie van het projectiel aan het begin - de 'opgeslorpte' energie ten gevolge van de weerstand. Nu is volgens mij energie gelijk aan kracht x verplaatsing, waarbij deze verplaatsing 2,5 meter is. Dan blijft de enige vraag nog over wat is de kracht.

In mijn redenering dus de wrijvingskracht, welke gelijk is aan 1/2*A*Cw*rho*v², waarbij A de frontale opp van de bol is met diameter 6mm (dus opp v.e. cirkel), rho de dichtheid van de standaard atmosfeer, Cw de wrijvingscoëfficiënt en v de snelheid van het projectiel.

Dus blijven er nog 2 vragen over om mijn probleem op te lossen, wat is de Cw en wat moet ik als snelheid nemen (beginsnelheid - eindsnelheid ?) ?

Om dit op te lossen heb ik verder geredeneerd (lees gegoogled), en uiteindelijk kwam ik ergens tot een formule dat Cw voor een bol gelijk is aan 24 / Re, met Re het Reynoldsgetal, welke dan weer gelijk is aan Re = rho*v*d/mhu, rho zijnde opnieuw de dichtheid van lucht (volgens mij is 1,29 kg / m³ een goede waarde), d de diameter van de bol (6 mm) en mhu de viscositeit (zijnde 1/1000 kg/(m*s) ) en v de snelheid.

Dus uiteindelijk heb ik mijn hele vraagstelling gereduceerd tot de vraag : Welke snelheid moet ik nemen ? en wat is dan de hieruit resulterende beginsnelheid ....

alvast bedankt

[Jan van de Velde]

In mijn redenering dus de wrijvingskracht, welke gelijk is aan 1/2*A*Cw*rho*v²,

Geen idee of dat nog opgaat bij dit soort snelheden, Volgens mij zitten er onder- en bovengrenzen aan deze (benaderings)formule

[Dirk Coolen]

klopt, maar ik werk met (volgens mij toch) relatief hoge snelheden (100 m/s) en dan geldt deze formule. Alleen vraag ik me af of die 24 / Re wel een goed benadering is (lees ook voor hogere snelheden).

[Fred F.]

Die Cw = 24/Re geldt alleen voor laminaire stroming en is alleen bruikbaar tot Re = 0,5, wat voor een balletje uit een kanon in lucht absoluut niet het geval is.

Neem Cw = 0,44 voor 1000 < Re < 250000 (en Cw = 0,1 voor Re >= 250000 maar dat heb je hier niet nodig)

De snelheid die je moet gebruiken is de werkelijke snelheid op ieder punt van het traject. Je zou het probleem dus in kleine stapjes op moeten delen als je het nauwkeurig moet berekenen, maar in eerste instantie zou je die 100 m/s maar eens kunnen gebruiken om te zien waar je uitkomt.

[Sjakko]

Kun je niet proberen dit met integralen op te lossen? Het lijkt me dan het handigst om het traject van de kogel in omgekeerde volgorde in gedachten te nemen, dus met beginsnelheid 100m/s.

Tweede wet van Newton:

\(\sum F=ma\)

ofwel:

\(a=\frac{c_{w} \rho A v²}{2m}\)

ofwel

\(\frac{dv}{dt}=cv²\)

, nu separeren:

\(v^{-2}dv=cdt\)

en door nu beide kanten te primitiveren is v(t) wel te berekenen. Met een beetje geluk kun je daarna ook x(t) berekenen waarna je het tijdstip waarbij x=2.5m kunt uitrekenen. Dat tijdstip invullen in v(t) en je hebt je snelheid (tevens je antwoord).

[Dirk Coolen]

maar als ik die constant c integeer naar de tijd krijg ik c*(t2-t1). Dus ik moet ook weten over welke tijd alles gebeurt. Hoe los ik dit dan op ?

En als ik me nog goed kan herinneren is de integraal van

\(v^{-2}dv\)

gelijk aan

\(-v^{-1}\)

Wat doe ik met dat minteken dan ? Of moet ik mijn grenzen dan van de gezochte snelheid tot 100m/s nemen, dan wordt het min-teken vanzelf opgeheven doordat ik een kleinere van een grotere snelheid ga aftrekken ?

[Sjakko]

Je stelt gewoon t1=0 (dit is het tijdstip waarop v=100m/s). Dan het integreren:

\(\int_{v_{0}}^{v} v^{-2}dv=c \int_{0}^{t} dt\)

dus na integreren en beide kanten vermenigvuldigen met -1 -->

\(v^{-1} -v_{0}^{-1}=-ct\)

ofwel

\(v(t)= \frac{1}{v_{0}^{-1}-ct}\)

als ik me niet vergis.

\(v_{0}\)

is uiteraard die constante van 100m/s en zou je in principe al kunnen invullen.

[Dirk Coolen]

Dit had ik zelf ook al wel uitgevogeld, maar ik ken de tijd niet waarop het projectiel op 2,5 meter passeert. Dat is nu juist de hele opzet.

Ofwel moet ik dan de tijd als functie van v nemen, waarbij ik t=x/v, met x gaande van 0 tot 2,5. Dan is t afhankelijk van v en kan ik dit weer naar de andere kant (dus voor het integreren) zetten. Dan is dt = d(x/v), dus moet ik nog eens even gaan nakijken wat ook alweer de regel is om een breuk te differentiëren. Ik weet nog wel dat d(x.y)=xdy+ydx, maar voor breuken weet ik het niet meer zeker ...

Wordt toch snel heel ingewikkeld ...

[Sjakko]

Ik quote mijn eerdere bericht:

Met een beetje geluk kun je daarna ook x(t) berekenen waarna je het tijdstip waarbij x=2.5m kunt uitrekenen. Dat tijdstip invullen in v(t) en je hebt je snelheid (tevens je antwoord).

Dus gewoon nog een keer integreren zodat je x(t) hebt. Ik kom op:

\(x(t)=\frac{1}{c}ln \left( \frac{v_{0}^{-1}}{v_{0}^{-1}-ct} \right)\)

Vul nu in: x=2.5, dan kun je het tijdstip berekenen. Vul dan dit tijdstip in in v(t) en je hebt je snelheid.

[Sjakko]

Nu ik toch bezig ben, doe hem wel helemaal voor:

x(t) omschrijven in t(x), daaruit volgt:

\(t(x)=\frac{1}{cv_{0}} \left( 1-e^{-cx} \left)\)

Tussendoor ter controle even x=2.5 invullen, dan kom ik op t=0.02384s en dat lijkt me redelijk aangezien de gemiddelde snelheid dan iets boven die 100m/s ligt, wat te verwachten is. Nu kunnen we verder.

Dit invullen in v(t), dan volgt:

\(v=v_{0}e^{cx}\)

met

\(c=\frac{c_{w} \rho A}{2m}\)

Vul nu de bekenden in en dan kom ik op

\(v_{1}=110,04m/s\)

[Sjakko]

Aangezien het nogal stil is, neem ik aan dat het gelukt is? Graag wel even mijn berekening controleren, want in dit soort sommen sluipt snel een foutje.

[Dirk Coolen]

Sjakko, ik heb moeten werken heel de dag gisteren. Heb het juist eens bekeken en volgens mij klopt het inderdaad. Theoretisch gezien heb je inderdaad exact de juiste snelheid aan het begin (dus einde van de loop) en de tijd waarbij het projectiel op x=2,5 passeert. Het probleem is dus opgelost. Heel hard bedankt voor je bijdrage.

Echter vraag ik me toch af of ik er met mijn beredenering met dt=d(x/v) ook toe kom. Dat is een volgende uitdaging. Want volgens mij kom je dan tot een formule met v=iets waarbij je de x invult van 0 tot 2,5. Als ik na deze dagen wat meer tijd heb ga ik het toch eens proberen (eerst de cursus wiskundige analyse weer onder het stof vandaan halen).

En nog de beste wensen voor 2008

[Dirk Coolen]

\(\int_{v_{0}}^{v} v^{-2}dv=c \int_{0}^{t} dt\)

Een ding begrijp ik echter nog niet helemaal hierin en dat is of je wel ongestraft de grenzen mag nemen zoals je hier beschrijft. Want als je t=0 neemt op het moment dat het projectiel op x=0 is en dus een snelheid v=v (het gevraagde) heeft, en op tijd t=t1 is dan x=2,5m en v=v0 (100 m/s), krijg je uiteraard een heel andere waarde. want dan is de uitwerking niet meer met een min-teken er in, maar met een plus-teken. Echter heb ik deze oefening eens gedaan en dan kom ik uiteindelijk op een negatieve tijd uit (met dezelfde waarde), wat dus impliceert dat je inderdaad terug in de tijd gaat en dus jou redenering van de grenzen klopt. Maar begrijpen doe ik het nog heel even niet.

[Sjakko]

Want als je t=0 neemt op het moment dat het projectiel op x=0 is en dus een snelheid v=v (het gevraagde) heeft, en op tijd t=t1 is dan x=2,5m en v=v0 (100 m/s), krijg je uiteraard een heel andere waarde.

Ik draai inderdaad het proces volledig om. Dus in het begin geldt:

\(x=x_{0}=0\)

\(v=v_{0}=100m/s\)

\(t=t_{0}=0\)

waarna de kogel versnelt totdat het die 2.5m heeft bereikt. Dan geldt

\(x=x_{1}=2.5m\)

\(v=v_{1}=\)

gevraagd

\(t=t_{1}=\)

onbekend

Zoals je ziet verwissel jij de snelheden. Vandaar dat je ook op een negatieve tijd uitkomt. Ik heb het proces volledig omgekeerd en werk niet met negatieve tijden. Ik werk gewoon met de aanname dat het proces in tegenovergestelde richting verloopt. Dat maakt de wiskunde voor mij wat minder lastig en uiteindelijk maakt het voor de uitkomst natuurlijk niks uit.