De functie van Diriclet

[kotje]

Zij m=1,2,3,...

Zij

\(f_m(x)=\lim_{n\rightarrow+\infty}{(\cos(m!\pi\mbox{x}))^{2n}}\)

Bepaal

\(\lim_{m\rightarrow+\infty}f_m(x)\)

[TD]

Zoek je hier een afleiding van? Je titel verklapt het antwoord natuurlijk, zie ook hier.

Je weet dat |cos(f(x))| schommelt tussen 0 en 1. Voor welke f(x) is dit 1?

[kotje]

Een rigoureuze afleiding zal misschien wel moeilijk zijn?

[TD]

Het is maar wat je rigoureus noemt.

Als x rationaal is, zal m!*x geheel worden voor voldoende grote m. Het argument van de cosinus wordt dan een geheel veelvoud van pi, dus de cosinus wordt 1 of -1. Door de even macht, is het geheel dan 1.

Als x irrationaal is, zal m!*x nooit geheel worden voor eender welke m, het argument wordt nooit een geheel veelvoud van pi dus de cosinus zal in absolute waarde steeds kleiner zijn dan 1. Dit tot een willekeurig grote macht, gaat naar 0.

[kotje]

Ik meen dat dit de zaak oplost. Als x rationaal is zal de noemer voor voldoende grote m wegvallen en zal m!pix geheel zijn en krijgen we voor een even macht van de cos altijd 1. Dus we krijgen als limiet de functie van Diriclet.

[TD]

Inderdaad, terwijl we bij de irrationale x nooit een breuk b kunnen vinden zodat bx geheel is; vandaar naar 0.

[PeterPan]

De laatste regel in de link van TD! luidt:

"This is often given as the (amazing!) example of a sequence of everywhere-continuous functions whose limit function is nowhere continuous."

Dit is pertinent onjuist!

Voor de goede orde: De functie waar we het over hebben wordt doorgaans geschreven als

\(1_{\qq}\)

of

\(\xi_{\qq}\)

.

Eigenschap: De limiet van een (puntsgewijs convergerende) rij continue functies heeft een dichte verzameling continuiteitspunten.

(In vaktaal: limieten van continue functies heten te zijn van de eerste klasse van Baire).

Wat Dirichlet in een klap aantoont is dat

\(1_{\qq}\)

van de tweede klasse van Baire is.

[TD]

Ik volg nog niet helemaal: wat klopt er nu precies niet aan die laatste regel?

Begrijp ik het goed dat als de limiet (Dirichlet) van klasse 2 is, dat de het om een rij functies van klasse 1 gaat (die dus niet overal continu zijn)?

[PeterPan]

Je kunt aantonen: Als

\(f\)

de limiet is van een rij continue functies, dan vormen de continuiteitspunten van

\(f\)

een dichte verzameling.

De continuiteitspunten van

\(1_{\qq}\)

vormen een lege verzameling, dus kan

\(1_{\qq}\)

NIET de limiet zijn van een rij continue functies.

\(B^1\)

is de verzameling van functies die een limiet zijn van een rij continue functies (1-ste klasse van Baire).

\(B^2\)

is de verzameling van functies die een limiet zijn van een rij functies van de 1-ste klasse van Baire.

\(1_{\qq} \in B^2\)

.

[TD]

Zo had ik het ook begrepen, maar dat betekent dus dat de rij functies waar we het in dit geval over hebben Baire-1 zijn (en dus niet, zoals in die laatste regel staat, overal continu).

[PeterPan]

Correct

De continuiteitspunten van een functie uit

\(B^1\)

hebben nog de volgende eigenschappen:

Ze vormen een magere verzameling, en ze kunnen geschreven worden als een aftelbare vereniging van gesloten verzamelingen (een

\(F_{\sigma}\)

).

Toepassing: De afgeleide van een differentieerbare functie zit in

\(B^1\)

.

[eendavid]

De niet-wiskundigen zullen dit misschien handig vinden.

For example, discontinuous functions representable by Fourier series belong to class 1.

http://mathworld.wolfram.com/BaireFunction.html

[PeterPan]

Dat verhaal zit vol met fouten . Niet naar kijken is de beste remedie.

[eendavid]

Is de bewering dat

\(B^1\)

correspondeert met discontinue functies die door fourierseries kunnen worden voorgesteld foutief? Gezien de fourier-aard van de openingspost lijkt dit me een relevante uitspraak.

[PeterPan]

fourierreeksen behoren tot

\(B^1\)

. De rest van het verhaal zit vol onwaarheden.

Hier maar even wat verduidelijking.

\(B^0 = C\)

is de verzameling van continue functies (op een samenhangend domein, b.v.

\([0;1]\)

).

\(B^1\)

is de verzameling van limieten van functies uit

\(B^0\)

\(B^2\)

is de verzameling van limieten van functies uit

\(B^1\)

\(B^3\)

is de verzameling van limieten van functies uit

\(B^2\)

enz.

\(B^1 \subset B^2 \subset B^3 \subset \cdots\)

\(B^1 \neq B^2 \neq B^3 \neq \cdots\)

\(B^{\omega}\)

is de verzameling van limieten van functies uit

\(\cup_{i \in \nn} B^i\)

Zo kunnen we vormen

\(B^{\omega}, B^{\omega + 1}, B^{\omega +2 }, \cdots\)

\(B^{2\omega}, B^{2\omega + 1}, B^{2\omega +2 }, \cdots\)

\(B^{3\omega}, \cdots B^{4\omega}, \cdots B^{5\omega}, \cdots\)

\(B^{\omega^2}, B^{\omega^2 + 1}, \cdots B^{\omega^2 +12\omega }, \cdots\)

\(B^{\omega^{\omega}}, \cdots B^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \cdots\)

enz. enz. enz. enz. enz.

Steeds geldt als

\(i < j\)

, dan is

\(B^i \subset B^j\)

en

\(B^i \neq B^j\)

.

Bekijk nu de verzameling

\(\mathcal{L}\)

van alle functies die tot een of andere Baireklasse behoren.

Het blijkt dat

\(\mathcal{L}\)

de verzameling van Lebesgue meetbare functies is.

(Het bewijs is zeer elegant. Het bewijs de andere kant op gaat via catalogisering en is elegant maar behoorlijk pittig).