Krukdrijfstangmechanisme met onderdeel in "zuiger"

[BertPils]

Hallo,

Ik vroeg mij af wie mij kon helpen met de volgende situatie:

In een krukdrijfstangmechanisme wordt een onderdeel in de "zuiger" aangedreven door een curvebaan en bedient hiermee een hefboom. Nu vroeg ik mij af, hoe kan ik de maximale versnelling in punt A (zie bijlage) berekenen, gezien het feit dat de hoeksnelheid in de curve telkens verandert, omdat de verplaatsing in Y-richting door de kruk-drijfstang al vast staat?

De rol waarin punt A zit, beweegt zich door de curvebaan.

Of moet ik voor alle waarden opnieuw een hoeksnelheid uitrekenen en aan de hand hiervan de grootste versnelling bepalen?

Alvast bedankt,

Berthil

[Sjakko]

Je kunt om te beginnen de versnelling van de zuiger bepalen door in de getekende driehoek de cosinusregel toe te passen (met de krukashoek als hoek nemen). Tweemaal differentiëren naar de tijd (m.b.v. de kettingregel) geeft je dan de versnelling van de zuiger als functie van de krukashoek en -hoeksnelheid. Deze formule is ongetwijfeld al ergens te vinden.

Als je de functie van de curve kent, dan kun je de versnelling van de rol bepalen. Dat zal dan een functie zijn van de plaats van de zuiger en de versnelling van de zuiger, welke je beide als functie van de krukashoek kunt schrijven. Uiteindelijk krijg je dan de versnelling van de rol als functie van de krukashoek en -hoeksnelheid. Dan kan je het maximum bepalen. Ik denk dat het best even werk is.

[BertPils]

De versnelling, verplaatsing en snelheid van het mechanisme zijn inderdaad bekend door de standaardformules van een krukdrijfstang.

Maar door de veranderende hoeksnelheid in de curve zag ik door de bomen het bos niet meer, om een versnelling van de rol te bepalen.

Maar ik ben inderdaad bang dat het wel even werk is. Ik zal er nog wel even naar gaan kijken.

Mocht iemand nog suggesties hebben, ik hoor het wel. In ieder geval alvast bedankt.

[BertPils]

Ik kom er nog steeds niet uit, het gaat mij namelijk om de versnelling die loodrecht op de rol werkt, via de curve. Dus niet in x of y-richting.

Ik zat zelf al te denken om de versnelling van de zuiger (die in y-richting is) te ontbinden in een factor loodrecht op de curve. Iemand een idee hoe ik zo de versnelling kan bepalen? Het gaat er namelijk uiteindelijk om, dat ik de kracht op de rol door de massatraagheid van de "zuiger" weet te bepalen.

Gegroet,

[Sjakko]

Ik kom er nog steeds niet uit, het gaat mij namelijk om de versnelling die loodrecht op de rol werkt, via de curve. Dus niet in x of y-richting.

Welke richting dan wel? Ik begrijp dan niet hoe de rol beweegt. Ik dacht dat de rol gewoon zuiver in x-richting zou transleren (en misschien wel een hoekversnelling zou ondergaan, maar dat vond ik niet duidelijk). Wat heeft het traagheidsmoment van de zuiger er verder mee te maken? Dat is alleen belangrijk als de hoeksnelheid van de krukas niet constant is en daar ging ik stiekempjes wel vanuit. Kun je me uitleggen hoe ik de som moet interpreteren?

[BertPils]

De rol transleert inderdaad ook in x-richting, maar ondervind door de curve een versnelling in y-richting. Echter wil ik de versnelling weten die loodrecht op de curve staat, dus als het ware de versnelling die er voor zorgt dat de rol in x-richting transleert.

De rol zit namelijk aan een hefboom, die een mechanisme onder de zuiger in x-richting beweegt (i=3). De hoeksnelheid van de krukas is inderdaad constant, maar de zuiger heeft een bepaalde massa die zorgt voor de massatraagheid. Deze massatraagheid wil ik converteren naar een kracht die op de rol werkt, zodat ik de krachten weet die op de as in de rol werken.

Ik hoop dat het iets duidelijk is zo, anders hoor ik het wel weer.

[Sjakko]

De hoeksnelheid van de krukas is inderdaad constant, maar de zuiger heeft een bepaalde massa die zorgt voor de massatraagheid. Deze massatraagheid wil ik converteren naar een kracht die op de rol werkt, zodat ik de krachten weet die op de as in de rol werken.

Als de krukashoeksnelheid gegeven is (of er wordt gezegd dat die constant is), dan ligt de versnelling van de zuiger ook vast. Het is dan onbelangrijk wat het traagheidsmoment van de zuiger is. Tot daar is het gewoon kinematica. Als je krachten op de rol wilt berekenen dien je je te focussen op de traagheid van het mechanisme dat vast zit aan de rol.

De rol transleert inderdaad ook in x-richting, maar ondervind door de curve een versnelling in y-richting. Echter wil ik de versnelling weten die loodrecht op de curve staat, dus als het ware de versnelling die er voor zorgt dat de rol in x-richting transleert.

Als het mechanisme dat vastzit aan de rol het toelaat dat de rol óók in y-richting kan bewegen, dien je toch echt te weten hoe dat mechanisme eruit ziet. Zonder dat te weten is het gedrag van de rol onmogelijk te voorspellen. De rol zou bijvoorbeeld (als veel weerstand wordt ondervonden in x-richting en nauwelijks in de y-richting) gewoon aan het begin van de curve kunnen blijven plakken en gewoon met de zuiger meebewegen.

Ik heb echter toch het idee dat je bedoelt dat de verticale beweging van de zuiger wordt omgezet in een zuiver horizontale beweging van de rol (en eventueel een hoekversnelling), maar dan is de versnelling van de rol in y-richting nul.

[BertPils]

Als het mechanisme dat vastzit aan de rol het toelaat dat de rol óók in y-richting kan bewegen, dien je toch echt te weten hoe dat mechanisme eruit ziet.

Het mechanisme laat niet toe dat de rol ook in y-richting beweegt. De rol beweegt alleen naar links en naar rechts bij beweging van de zuiger. Aan deze rol zit dan weer een hefboom die iets onder punt A scharnierd. Dus de rol beweegt niet in y-richting.

Maar ik had verwacht, dat door de curve en het gewicht van de zuiger (50kg), de zuiger wel degelijk krachten op de rol zou uitoefenen, omdat deze tegen de rol wordt aangedrukt. Dus ik had het idee dat op iedere plaats in de curve wel een kracht, door de versnelling van de zuiger, op de rol zou werken.

Overigens, we praten hier niet over een echte zuiger, maar iets wat dezelfde beweging heeft door de krukdrijfstang.

Maar als ik het zo goed begrijp, is de versnelling van de zuiger gelijk aan de versnelling op de rol? Dus het maakt niets uit dat de weg die de rol aflegt groter is dan de weg die de zuiger aflegt?

[BertPils]

Is het geheel trouwens niet te zien als een gleufnok? Of een andere vorm van een nok?

[BertPils]

Misschien is deze situatie duidelijker. Het gaat er mij om dat:

-Ik de krachten op de rol kan bepalen, met de wetenschap dat de massa van de zuiger 50kg is en de beweging, versnelling, snelheid etc. van de zuiger bekend is.

Enig idee?

[Sjakko]

Het mechanisme laat niet toe dat de rol ook in y-richting beweegt. De rol beweegt alleen naar links en naar rechts bij beweging van de zuiger. Aan deze rol zit dan weer een hefboom die iets onder punt A scharnierd. Dus de rol beweegt niet in y-richting.

Gelukkig. Daar ging ik namelijk ook vanuit, totdat je de volgende uitspraak deed.

De rol transleert inderdaad ook in x-richting, maar ondervind door de curve een versnelling in y-richting.

Maar goed, nu is dus duidelijk dat de beweging van de rol zuiver in x-richting is en dat de rol dus geen beweging en dus geen versnelling in y-richting ondervindt.

Dan is het volgens mij een kwestie van de verticale versnelling van de zuiger omzetten in een horizontale versnelling van de rol. Die is afhankelijk van de curve. Kijk eerst eens wat de rol zou doen als de curve een rechte lijn zou zijn. Door de geometrie zit er een verhouding tussen horizontale verplaatsing en verticale verplaatsing (teken desnoods even). Diezelfde verhouding geldt ook voor de snelheden en versnellingen.



Je komt dan op:

\(s_{rol}=\frac{s_{zuiger}}{tan \theta}\)

,

\(v_{rol}=\frac{v_{zuiger}}{tan \theta}\)

en

\(a_{rol}=\frac{a_{zuiger}}{tan \theta}\)

.

Bij een curve varieert die tan(θ) natuurlijk en kun je hoogstens spreken van de raaklijn aan de curve. De helling van die raaklijn (=afgeleide van de functie van de curve) is dan afhankelijk van de positie van de zuiger (of van de tijd, zoals je wilt). Als die curve bijvoorbeeld een cirkelbaan is, dan gaat het volgens mij als volgt:



Voor die curve geldt

\((x-R)^2+y^2=R^2\)

ofwel

\(y=\sqrt{R^2-(x-R)^2}\)

helling raaklijn=tan(θ)=

\(\frac{dy}{dx}\)

Als ik dit impliciet differentieer, kom ik op

\(\frac{dy}{dx}=\frac{R-x}{y}\)

Maar ik wil x elimineren (is tenslotte functie van y en dus de zuigerpositie), dat kan aangezien

\((x-R)^2+y^2=R^2\)

, ofwel

\(R-x=\mp \sqrt{R^2-y^2}\)

maar hier geldt

\(R-x > 0\)

dus

\(R-x= \sqrt{R^2-y^2}\)

waardoor de afgeleide overgaat in

\(\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{y}\)

zodat

\(a_{rol}=\frac{y}{\sqrt{R^2-y^2}}\cdot a_{zuiger}\)

Als je nu de positie van de zuiger d noemt met d=0 in de getekende situatie en toenemend als de rol de curve doorloopt, dan geldt d=y ofwel

\(a_{rol}=\frac{d}{\sqrt{R^2-d^2}}\cdot a_{zuiger}\)

\(a_{zuiger}\)

en d kun je schrijven als functie van de hoek van de krukas en dan is de versnelling van de rol als functie van de krukashoek bekend. Dan is het maximum te bepalen.

Wederom, als je de versnelling-tijd-functie of de versnelling-positie-functie van de zuiger kent, doet de massa van de zuiger er in het geheel NIET toe. Succes!

[BertPils]

Oke, hartstikke bedankt!

En als ik het dus goed begrijp, werken er geen krachten op de rol door de massa van de zuiger. Ik zal het geheel eens even gaan uitwerken.

Bedankt

[Sjakko]

Oke, hartstikke bedankt!

En als ik het dus goed begrijp, werken er geen krachten op de rol door de massa van de zuiger. Ik zal het geheel eens even gaan uitwerken.

Bedankt

Nee dan begrijp je het niet goed. De rol en het mechaniek wat daaraan zit, ondervindt een versnelling, dus er werkt weldegelijk een kracht op (die via de zuiger wordt aangebracht). Hoe groot die kracht is, is afhankelijk van de traagheid van de rol+het mechanisme. De versnelling staat immers al vast en kracht=massa*versnelling.

In werkelijkheid speelt de massa van de zuiger natuurlijk ook mee. Dat omdat de zuiger (+de rol en het mechanisme wat daar achter zit) de krukas voortdurend aan het versnellen en vertragen is (en niet zo'n beetje ook). Juist hierom hebben motoren een vliegwiel! Daardoor wordt het toerental zo veel mogelijk constant gehouden. (Hierdoor zijn de klappen op je aandrijving niet meer zo groot en wordt de zuiger door de dooie punten geholpen.) Dat is hier blijkbaar ook het geval, aangezien een constante hoeksnelheid gegeven wordt! Daardoor staat de functie voor de versnelling vast. Of de zuiger nu zo zwaar is als een olifant of zo licht is als een veertje, het (onbekende) aandrijvingsmechanisme (vliegwiel?) krijgt het blijkbaar voor elkaar om de hoeksnelheid van de krukas constant te houden. Wel zo fijn, want de berekening was er zonder dat gegeven niet eenvoudiger van geworden.

Laat ik het anders even zo stellen: stel ik zit in de auto en sta stil voor het rode stoplicht. Een auto merkt me te laat op een rijdt me achterop. Ik versnel daardoor kortstondig met 10m/s². Maakt het voor de kracht die op me werkte dan uit of de auto die me achterop reed een Hummer of een Mini was?

De massa van de Hummer en de Mini staan voor de zuigermassa en mijn auto staat voor de rol+mechanisme.

[willem1]

De massa van de Hummer en de Mini staan voor de zuigermassa en mijn auto staat voor de rol+mechanisme.

Je vergeet dat aan de bovenzijde de zuiger vast zit aan een zuigerstang en geen vrij bewegende massa is. De massa van de zuiger zal zeker bepalend zijn voor de krachten in die zuigerstang. Maar voor de versnelling van de rol is alleen de snelheid van de zuiger van belang.

Vergelijk het met een mini of een hummer die vastzitten met een stang aan een 80 tons truck. Dan maakt het niet zoveel uit wat er tegen je aan botst

[Sjakko]

De massa van de zuiger zal zeker bepalend zijn voor de krachten in die zuigerstang.

Dat heb ik nergens ontkent toch? Ik heb het niet gehad over krachten in de zuigerstang, omdat het vraagstuk daar niet over gaat.

Vergelijk het met een mini of een hummer die vastzitten met een stang aan een 80 tons truck. Dan maakt het niet zoveel uit wat er tegen je aan botst

Dat is inderdaad een goeie representatie. Maar ookal zit er geen truck aan vast; zolang gegeven is dat de auto met 10m/s² versnelt, blijft de benodigde kracht voor die versnelling gelijk. We hoeven ons dan geen zorgen te maken over of het nu een truck, olifant of een ander mechanisme is geweest.