Van poolcoördinaten naar heliocentrische ecliptische coördinaten

[Fiesika]

Ik wist niet of dit meer sterrenkunde of wiskunde is, maar het leek mij hier wel passen. Zoniet, verplaats hem gerust.

Ik heb dus de poolcoördinaten van de planeet uitgerekend, met de zon als oorsprong en als x-as het gestreepte lijntje van de zon richting punt P. In het plaatje onder is die slechts gedeeltelijk getekend (volledige pagina hier)



Nu moet ik deze poolcoördinaten omzetten naar zogenaamde heliocentrische ecliptische coördinaten. Om dat te doen moet ik ze eerst omzetten naar cartetische coördinaten en dan het referentievlak verschuiven zodat de x-as richting

\(\Upsilon\)

wijst. Dat eerste is simpel, maar ik zie niet hoe je het tweede klaar kunt spelen. Dit is in ieder geval het antwoord:



De werkwijze ontgaat mij echter volledig. Zou iemand een kleine uitleg kunnen geven hoe je stapsgewijs tot die vergelijking komt? Als ik weet hoe je tot de vergelijking van

\(x\)

komt dan kan ik de andere twee ook wel uitvogelen denk ik.

[eendavid]

Deze situatie is volledig analoog aan deze op de overgang tussen verschillende coördinaten met gegeven Eulerhoeken.

Om van heliocentrische ecliptische coördinaten naar de het stelsel waarin je de coodinaten hebt doe je het volgende (deze richting is makkelijker te volgen).

We zoeken de nieuwe basisvectoren in het oude stelsel:

1. Roteer om de z-as met

\(\Omega\)

:

\(\left[\startmatrix \cos(\Omega) & \sin(\Omega) & 0\\ -sin(\Omega) & cos(\Omega) & 0 \\0 & 0 & 1 \endmatrix\right] \left[\startmatrix e_x \\ e_y \\ e_z \endmatrix \right] \)

2.Roteer om de nieuwe x-as met i:

\(\left[\startmatrix 1 & 0 &0 \\0& \cos(i) & \sin(i)\\ 0 & -sin(i) & cos(i) \endmatrix\right] \left[\startmatrix \cos(\Omega) & \sin(\Omega) & 0\\ -sin(\Omega) & cos(\Omega) & 0 \\0 & 0 & 1 \endmatrix\right] \left[\startmatrix e_x \\ e_y \\ e_z \endmatrix \right] \)

3. roteer om de nieuwe z-as met

\(\omega\)

...

Je hebt nu B'=A B (met B de vector van basisvectoren), met A een orthogonale matrix. Leidt hieruit af (aangezien [x' y' z'] B' = [x y z] B) dat

\(\left[\startmatrix x\\y\\z\\ \endmatrix\right]=A^T \left[\startmatrix x'\\y'\\z'\\ \endmatrix \right]\)

[Fiesika]

Super, bedankt. Ik ga vanavond je reactie even grondig doorlezen.

[Fiesika]

Ik heb je reactie bestudeerd, maar ik snap er nog niet veel van. Van wat jij beschrijft heb ik nog niks eerder gezien (zit op het middelbaar). Jij keert de situatie dus om en gaat van heliocentrische ecliptische coordinaten naar poolcoordinaten?

[eendavid]

Kan je meer informatie geven over je voorkennis?

Ken je matrixproducten? Snap je dat het matrixproduct in stap 1 de vectoren roteert? Indien niet, werk het matrixproduct eens uit en teken de nieuwe vectoren.

De methode is de volgende: zoek hij de vectoren in mekaar transformeren (bijvoorbeeld schrijf de cartesische coordinaatvectoren die corresponderen met de poolcoordinaten in functie van de heliocentrische cartesische coordinaatvectoren). Daarna is het een koud kunstje (waarmee ik bedoel dat het rekenwerk ophoudt).