Variabele versnelling

[SamWitse]

Wellicht een eenvoudige vraag, maar moeilijk genoeg voor mij:

Gegeven: beginsnelheid v0, tijd t, beginversnelling a0, incrementele versnelling ai, tijdsincrement ti

Probleem: een object beweegt op een rechte lijn op tijdstip 0 aan de beginsnelheid v0. Op tijdstip 0 versnelt het object met versnelling a0. Elk tijdsinterval ti verder, wordt de versnelling verhoogd met ai.

Vraag: wat is de afgelegde afstand na tijd t?

Voorbeeld: v0 = 10 m/s, beginversnelling a0 = 2 m/s2, increment ti 0,5 sec., om de 0,5 sec. verhoogt de versnelling met 0,25 m/s2; dus na 0,5 sec. bedraagt de versnelling 2,25 m/s2, na 1 sec. bedraagt de versnelling 2,5 m/s2 ,etc.

Tijd = 5 sec. Hoe ver is het object geraakt?

Bemerkingen:

- men mag er ook van uitgaan dat de verhoging van de versnelling continu gebeurt, en niet in sprongen op elk tijdstip ti verder.

- wat als men t niet kent, maar wel a, de versnelling op tijdstip t?

Ik heb een formule nodig die ik in een programma kan gieten, dus graag een 'eenvoudige' formule als oplossing.

Een beetje uitleg over de gebruikte redenering is ook altijd nuttig.

Sam.

[dirkwb]

Dit is zeker huiswerk? Er is hier een aparte huiswrkforum post je huiswerk voortaan daar.

Je weet dat:

\( s= s_0 +v_0 t +\frac{1}{2} a t^2 \)

Nu moet je de afstanden per tijdsinterval bepalen en sommeren.

[Ruben01]

Je kan ook op een andere manier vertrekken.

Met de gegeven kan je makkelijk de vergelijking van de versnelling i.f.v. de tijd opstellen.

Hiervoor verkrijg je dan

\(a(t)=a_o+(2\cdot a_i \cdot t) \)

of

\(a(t)=2+(0,5 \cdot t) \)

Als je dan 2 keer gaat integereren naar de tijd en vult de correcte randvoorwaarden aan dan kom je op de vergelijking voor de afgelegde weg.

Je moet dus geen formules zoals in dirkwb zijn methode kennen, enkel een paar wiskundige technieken.

[SamWitse]

Dit is geen huiswerk!

Kan iemand de oplossingrichting van Ruben uitwerken?

Alle gegevens heb ik reeds in mijn eerste post gemeld.

Ik vermoed dat een uitwerking van een integraal inderdaad de oplossing is, maar hier zit ik vast.

Dank voor alle hulp.

Sam.

[Ruben01]

Het is niet zo heel moeilijk dus zal ik hem even uitwerken:

\(v(t)= \int a(t) dt \)

\(v(t)= \int (2+0,5t) \cdot dt \)

\(v(t)= 2t + 0,25t^2 +C \)

De beginsnelheid is 10 m/s dus bij t=0s is v(t)=10 ; C=10

\(v(t)= 2t + 0,25t^2 + 10 \)

\(s(t)= \int v(t) dt \)

\(s(t)= (2t + 0,25t^2 + 10) dt \)

\(s(t)= 10t + t^2 + \frac{t^3}{12} \)

In de bovenstaande formule moet je dan als t 5 seconden invoeren en je kent het antwoord.

[SamWitse]

Heel erg bedankt, Ruben.