[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

Je gaat zo'n dingen "zien" als je genoeg oefent. Die a^4 moet je niet afschrikken, dat is maar een constante. Ik zag een z in de teller dus met een substitutie kan je daarmee overgaan op de variabele z² (want de afgeleide daarvan is evenredig met z). De noemer is dan een constante plus het kwadraat van die variabele (z² in het kwadraat), dat doet aan een inverse tangens denken...

[foodanity]

Hoe pak ik deze aan?

\(\int \sqrt{1+e^{2x}}\)

[Morzon]

Substitueer:

\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)

[foodanity]

Oke, ff kijken:

\(\int \sqrt{1+e^{2x}}dx\)

substitutie geeft:

\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)

Je hebt:

\(u dx\)

, dus wordt het:

\(\int \frac {u^2}{u^2-1}du\)

Dan met merkwaardig product:

\( \frac {1}{2} \int \frac {u^2}{u-1} - \frac {u^2}{u+1}du = \frac {1}{2} \int (u + 1 + \frac {1}{u-1}) - (u - 1 + \frac {1}{u+1})du\)

vereenvoudigen geeft:

\(\frac {1}{2} \int 2+ \frac {1}{u+1} - \frac {1}{u+1}du\)

en warempel! Die kan ik wel primitiveren!:

\(\frac {1}{2} (2u + ln (u-1) - ln (u+1) \)

en dat is gelijk aan:

\( u + ln (\frac {u-1}{u+1})\)

Terugsubstitueren geeft:

\(\sqrt{1+e^{2x}} + ln (\frac {\sqrt{1+e^{2x}}-1}{\sqrt{1+e^{2x}}+1}) = \sqrt{1+e^{2x}} + ln (1 - \frac {2}{\sqrt{1+e^{2x}}+1})\)

Is die nog verder te herleiden? Klopt ie? Was best wel lastig, door dat merkwaardige product...

[HosteDenis]

Die kan ik wel primitiveren!:

\(\frac {1}{2} (2u + \ln (u-1) - \ln (u+1)) \)

en dat is gelijk aan:

\( u + \ln (\frac {u-1}{u+1})\)

Ik keek niet of je in de fout ging met je merkwaardig product (te lui), maar wat hierboven staat is fout:

\(\frac {1}{2} (2u + \ln (u-1) - \ln (u+1))\)

is gelijk aan

\( u + \frac{1}{2} \ln (\frac {u-1}{u+1})\)

Denis

[foodanity]

@Denis: Ik kwam er achter dat het een foutje was ja, die half vergeten... stom van me

maar... nu zag ik op de integrator van wolfram dat het antwoord was:

\(\sqrt{1+e^{2x}} - arctanh (\sqrt{1+e^{2x}}) \)

met wat googlen, omdat ik niet erg bekend ben met hyperbolische functies, zag ik dat de arctanh ook te schrijven is (voor reeele nummers) als:

\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{1-x}\)

dus met dat minteken uit de integrator ervoor wordt het volgens die integrator:

\(\sqrt{1+e^{2x}} + \frac {1}{2}ln \frac {1-x}{x+1}\)

maar mijn antwoord was x-1 in plaats van 1-x, dus zou ik verwachten dat het een arccoth moet zijn want daar is de formule van:

\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{x-1}\)

en dat correspondeert wel met mn antwoord. Waar is het dus fout gegaan? Of is de integrator fout? (dat laatste lijkt me stug)

[floRobi]

Ik kom ook

\(\frac {1}{2}ln \frac {x+1}{x-1}\)

uit.

[Morzon]

Substitueer:

\(u=\sqrt{1+e^{2x}} \Rightarrow du=\frac{u^2-1}{u} \ dx \)

\(\int \sqrt{1+e^{2x}} \ dx \Rightarrow \int \frac{u^2}{u^2-1} \ du=\int \frac{u^2-1+1}{u^2-1} \du = \int 1+\frac{1}{u^2-1} \ du \)

Laatste stukje kan je met breuksplitsen doen.

[foodanity]

Oke, dat is wat sneller ja, klopt.. komt op hetzelfde neer alleen is het stukken minder schrijfwerk.

Maareuhm: hoe zit dat nou met die arctanh van de integrator en de arccotanh volgens ons? Foutje van de integrator dus toch?

[Morzon]

Afgeleide van arccoth(x) en arctanh(x) zijn het zelfde, maar de domein waarin deze functies geldig zijn verschillen.

Verder kan je al de relaties afleiden uit de definities van hyperbolische functies.

[HosteDenis]

\(\int \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \; dx\)

Ik moet er nog exact 11 maken. Het einde is een zicht!

Kan iemand me nog even met bovenstaande integraal helpen?

Dankje

Denis

[dirkwb]

Gebruik t-substitutie:

\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)

\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1-t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \)

[dirkwb]

Of gebruik x=2u:

\( 2 \cdot \int \frac{1-\cos(2u)}{1+\cos(2u)} du = 2 \cdot \int \tan^2(u) du = 2 \cdot \int \frac{\sin(u)}{\cos^2(u)} \sin(u) du \)

Nu partieel integreren toepassen.

[TD]

Partieel integreren? Of eenvoudiger: sin²u = 1-cos²u dus er staat 1/cos²(x)-1.

[floRobi]

Gebruik t-substitutie:

\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)

\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1-t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \)

Enkele typfouten

\(dx = \frac{2}{1+t^2}\ dt\)

\(\int \frac{2t^2}{(1+t)^2}\ dt \rightarrow \)

geen haakjes in de noemer

\( \rightarrow \int \frac{2t^2}{1+t^2}\ dt\)

dus het wordt:

\( cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \)

\( \int \left( \frac{ 1- \frac{1-t^2}{1+t^2} }{ 1+ \frac{1-t^2}{1+t^2}} \right) \frac{2}{1+t^2}\ dt = \int \frac{2t^2}{1+t^2}\ dt \)

Nu +1-1 en je hebt het.