Kwantumgetallen

[thermo1945]

Als we aan de lichtsnelheid een SOORT quantumgetal zouden toekennen...

Bij 1 heeft men geen snelheden meer tussen 0 en 1.

De lichtsnelheid in glas of water is < c. Een quantumgetal is dan zinloos.

Quantumgetallen hebben alleen zin als ze minstens twee discrete waarden kunnen hebben.

afgesplitst van hier (Phys)

[eendavid]

Quantumgetallen hebben alleen zin als ze minstens twee discrete waarden kunnen hebben.

Dat hoeft niet zo te zijn. Bekijk bijvoorbeeld het kwantumgetal $p_x$ in een translatie-invariantie hamiltoniaan. Dat is continu, en dat is een prima quantumgetal.

[thermo1945]

Dat hoeft niet zo te zijn.

Wat betekent het dan, dat een grootheid gequantiseerd is? Continuïteit neemt de quantisatie juist weg, dacht ik.

[eendavid]

Wat betekent het dan, dat een grootheid gequantiseerd is? Continuïteit neemt de quantisatie juist weg, dacht ik.

Dat klopt. Maar een goed kwantumgetal is niet per definitie een gekwantiseerde grootheid. Men spreekt van een goed kwantumgetal wanneer de hamiltoniaan en de desbetreffende operator

\(\widehat{p_x}\)

tesamen gediagonaliseerd kunnen worden. In fysische termen betekent dat, dat als ik ik

\(p_x\)

meet, het systeem gedurende 5 minuten met rust laat, en 5 minuten later

\(p_x\)

meet, ik tweemaal hetzelfde resultaat zal meten.

Merk natuurlijk op dat als een klojo in die 5 minuten de positie x meet, ik waarschijnlijk een andere

\(p_x\)

zal meten, maar dat geheel terzijde.

[thermo1945]

Bekijk bijvoorbeeld het kwantumgetal $p_x$ in een translatie-invariantie hamiltoniaan. Dat is continu, en dat is een prima quantumgetal.

in tijd of plaats? Ik las in eerste instantie plaats, maar jij hebt het over 5 min later.

[eendavid]

Misschien mag ik het inderdaad iets meer uitwerken. In een translatie-invariant systeem (met translatie langs de x-as bedoeld) is de commutator tussen de x-momentum-operator

\(\widehat{p_x}\)

en de hamiltoniaan

\(\widehat{H}\)

nul. Dat betekent dat eigentoestanden van

\(\widehat{p_x}\)

ook eigentoestanden van

\(\widehat{H}\)

zijn. Maar een belangrijk resultaat in quantummechanica is dat als een systeem in een eigentoestand van de hamiltoniaan is, het daar zal blijven indien het niet interageert met iets extern (een elektromagnetisch veld bijvoorbeeld). Met andere woorden, als het systeem in een eigentoestand van

\(\widehat{p_x}\)

is, en je laat het systeem 5 minuten met rust, dan zal het 5 minuten later nog steeds in dezelfde eigentoestand van

\(\widehat{p_x}\)

zijn.

Eigentoestanden van de hamiltoniaan zijn zeer fundamenteel in kwantum mechanica. Men labelt ze met 'goede kwantumgetallen', zoals hierboven gedefinieerd. Dit is een set van kwantumgetallen van observabelen die voldoende info geven om, gegeven deze getallen, de eigentoestand vast te leggen. Maar dat kan dus prima een continue variabele zijn: voor ongebonden toestanden is er een continu spectrum aan eigentoestanden van de hamiltoniaan (men labelt daar typisch met x of p).

[thermo1945]

Helder. Bedankt voor de toelichting.