Snelheid berekenen bij niet-constante acceleratie

[EvilBro]

Ik gebruik juist de formules die wiki zegt.

Dat snap ik, je vergeet alleen dat wiki een voorwaarde geeft voor wanneer je deze formule mag gebruiken. Die voorwaarde negeer je volledig met alle foute gevolgen vandien.

Gij schrijft dat ik de zaak niet correct bereken. Kunt ge dit misschien verbeteren?

Ik heb je al keer op keer verbeterd. Je past iets toe dat niet toegepast mag worden. Dat zegt zelfs de bron vanwaar je die formule hebt door te stellen "In order for the equation to be valid, m2 must remain practically stationary so that its gravitational field does not change over time."

eendavid's post biedt denk ik een oplossing en komt daarmee op iets uit waardoor ik plotseling de oplossing zie van mijn eerder opgestelde differentiaalvergelijking:

\(\frac{dr}{dt} = \sqrt{2 \cdot (m_1+m_2) \cdot G \cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0})}\)

Ik weet niet precies hoe eendavid de juiste waarde van \(\mu\) gaat bepalen, maar als hij dat voor elkaar krijgt dan heeft hij een methode om via de energiebalans tot een oplossing te komen. Dat wil dan natuurlijk nog steeds niet zeggen dat jouw pogingen correct zijn (dat zijn ze namelijk aantoonbaar niet).

[Morzon]

Je zou kunnen bekijken vanuit de massamiddelpunt. Laten we massamiddelpunt in de oorsprong nemen.

m1------------center of mass------------m2

r1 is de aftsand van m1 naar massamiddelpunt.

Relatieve afstand is r2+r1=R We weten dus dat m1r1+m2r2=0

\(m_1 \frac{d^2 r_1}{dt^2}=f( R )\)

\(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \frac{d^2 R}{dt^2}=f( R)\)

[eendavid]

Ik weet niet precies hoe eendavid de juiste waarde van \(\mu\) gaat bepalen, maar als hij dat voor elkaar krijgt dan heeft hij een methode om via de energiebalans tot een oplossing te komen.

Blijkbaar is iedereen dus geinteresseerd in dat 1D probleem?

zij x2>x1:

\(\frac{d^2x_1}{dt^2}=\frac{Gm_2}{x^2}\)

\(\frac{d^2x_2}{dt^2}=-\frac{Gm_1}{x^2}\)

van elkaar aftrekken:

\(\frac{d^2}{dt^2}x=-\frac{G\mu}{x^2}\)

,

met

\(x=x_2-x_1\)

en

\(\mu=m_1+m_2\)

Aantonen dat

\(E=\frac{1}{2}\dot{x}^2-\frac{G\mu}{x}\)

behouden is, is triviaal.

Dan heb ik inderdaad in de voorgaande formule een 2tje kwijtgespeeld. Correct is Evilbro's oplossing:

\(\dot{x}=\sqrt{G\mu}\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}\)

en meer werd in principe niet gevraagd (maar t(x) uitrekenen is niet moeilijk, net zoals in het Keplerprobleem. Ik meen me te herinneren dat ik ook daar nooit r(t) in expliciete vorm uitrekende, maar pin me er niet op vast. Hoe dan ook hebben we een analytisch begrip van de tijdsafhankelijkheid).

[eendavid]

excuses, ik was aan het dromen. Voor alle zekerheid: Evilbro's, en mijn, oplossing is

\(\dot{x}=\sqrt{2G\mu}\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}\)

[EvilBro]

Aantonen dat

\(E=\frac{1}{2}\dot{x}^2-\frac{G\mu}{x}\)

behouden is, is triviaal.

Ik heb problemen met het aantonen dat het tweede gedeelte inderdaad het verlies aan potentiele energie is. Kun je dit uitwerken?

[eendavid]

Aantonen dat

\(E=\frac{1}{2}\dot{x}^2-\frac{G\mu}{x}\)

behouden is, is triviaal.

immers, leidt af naar t:

\(\dot{E}=\dot{x}\ddot{x}+\frac{G\mu}{x^2}\dot{x}\)

Substitutie van de bewegingsvergelijking:

\(\dot{E}=\dot{x}\frac{-G\mu}{x^2}+\frac{G\mu}{x^2}\dot{x}=0\)

[EvilBro]

immers, leidt af naar t:

Ik zie dat energie behouden blijft Wat ik echter nog steeds niet goed voor ogen heb is hoe je op het volgende bent gekomen:

\(E = \frac{1}{2} \dot{x}^2 - \frac{G \mu}{x}\)

[eendavid]

Ik begrijp het probleem niet goed. Heb je probleem met de notatie E? Of vraag je gewoon naar hoe je de behouden grootheid kan vinden, eerder dan naar een bewijs ervan?

[kotje]

Wat begrijp je niet aan het volgende?

Natuurlijk wordt potentiele energie omgezet in kinetische energie. Het punt is niet dat de wet van behoud van energie niet geldt (zoals ik al eerder zei). Het punt is dat je je potentiele energie verschil niet correct berekent en daardoor dus ook niet je kinetische energie verschil. Je gebruikt formules die helemaal niet algemeen gelden. Dit schijn ik je niet duidelijk te kunnen maken. Misschien dat wiki dat wel kan:

In het boek waaruit ik de formule voor potentiële energie van twee deeltjes op een afstand van r haalde staat langs geen kanten bij dat ge een deeltje vast moet houden als ge met de formule rekent (

\(E_{pot}=-\frac{Gm_1m_2}{r}\)

).(Physics Serway).

Als wiki gelijk heeft dan is mijn redenering fout natuurlijk.

Ik wil nog een vraagje stellen:

2 deeltjes met massa's

\(m_1,m_2\)

liggen op r van elkaar en oefenen gravitatiekrachten op mekaar uit en zijn in rust. Hoeveel arbeid moet men verrichten om ze op een oneindige afstand van mekaar te brengen en

\(m_1\)

een snelheid

\(v_1\)

te geven en

\(m_2\)

een snelheid

\(v_2\)

te geven.

[EvilBro]

Ik begrijp het probleem niet goed. Heb je probleem met de notatie E? Of vraag je gewoon naar hoe je de behouden grootheid kan vinden, eerder dan naar een bewijs ervan?

Ik denk dit laatste. Ik wil gewoon weten hoe je erbij komt om E zo te kiezen als je hem kiest.

[bbusterr]

2 deeltjes met massa's

\(m_1,m_2\)

liggen op r van elkaar en oefenen gravitatiekrachten op mekaar uit en zijn in rust. Hoeveel arbeid moet men verrichten om ze op een oneindige afstand van mekaar te brengen en

\(m_1\)

een snelheid

\(v_1\)

te geven en

\(m_2\)

een snelheid

\(v_2\)

te geven.

Oneindige afstand van elkaar? Dan moet je volgens mij ook oneindig veel arbeid verichten.

Want je moet ten eerste de gravitatiekracht opheffen, en ook nog eens extra kracht uitoefenen, zodat je ze zeg maar van elkaar weg duwt.

En volgens mij oefenen twee deeltjes theoretisch altijd gravitatiekracht op elkaar uit, dus moet je over de hele (oneindige) afstand kracht blijven uitoefenen.

Dan moet je, lijkt mij, 'gewoon' oneindig veel arbeid verrichten.

Of bedoel je oneindig kleine afstand? In dat geval weet ik nu niet hoe je dat moet doen.

[eendavid]

Wel ja, je ziet uit de vergelijkingen natuurlijk onmiddellijk uit de vergelijking in x, dat dit het probleem is van een massa die wordt aangetrokken door een stilstaande massa

\(\mu\)

, met energie per massa (toch een irrelevante constante voor de baan) dan gegeven door wat ik schrijf. Het is trouwens nuttig op te merken dat dit correspondeert met wat wiki schrijft: als m_2 >> m_1 (dus als m_2 'bijna stationair') is

\(\mu\approx m_2\)

, en na vermenigvuldigen met m1 bekomen we hun energie. Maar er is dus altijd een behouden energie, alleen is hun formule dan fout (ik heb niet gans wiki nagekeken of hij ergens juist staat, waarschijnlijk wel).

[bbusterr]

Nog best een lange discussie geworden

Bedankt voor de reacties van iedereen!

Hier zou het verder mee moeten lukken (erop vertrouwend dat de laatste formule toepasbaar is)

[kotje]

kotje schreef:

Ik wil nog een vraagje stellen:

2 deeltjes met massa's

\(m_1,m_2\)

liggen op r van elkaar en oefenen gravitatiekrachten op mekaar uit en zijn in rust. Hoeveel arbeid moet men verrichten om ze op een oneindige afstand van mekaar te brengen en een snelheid

\(v_1\)

te geven en een snelheid

\(v_2\)

te geven.

Hun potentiële energie wordt 0 als men een arbeid verricht

\(G\frac{m_1m_2}{r}\)

(bindingsenergie). Hierbij voegt men de kinetische energie

\(\frac{m_1v_1^2}{2}\)

+

\(\frac{m_2v_2^2}{2}\)

toe.