Tensoren

[LiesbethDN]

Zou iemand mij meer uitleg kunnen geven over het tensordichtheid en het gewicht hiervan ?

In mijn cursus klassieke mechanica komt er een heel hoofdstuk waar deze begrippen gebruikt worden, maar ik lijk maar nergens te kunnen vinden wat dit juist is.

Bedankt !

[LiesbethDN]

Ondertussen ben ik al ietsje wijzer geworden. Alleen het begrip "gewicht" begrijp ik nog niet zo goed.

De definitie gaat als volgt :

Een relatieve tensor of tensordichtheid met gewicht W,

\( W \in \zz \)

is een intrinsiek voorschrift met de eigenschap dat voor een gegeven tensor T

\( \in \mathcal{T}_{p}^{(k)} \)

geldt :

\( \forall X, Y \in A, \forall p \in O_{x} \cap O_{y} : D(T,X) = J_{xy}^W D(T,Y) \)

met

\( J_{xy} = det [\frac{\partial x^i}{\partial y^j}(y_{0})]\ en\ y_{0} = Y(p) \)

Ik vind volgende voorbeelden in mijn cursus :

• De metrische matrix in een kaart X is een scalaire dichtheid met gewicht -2.
• Zijn inverse is een scalaire dichtheid met gewicht 2.
• Het Levi-Civita symbool is een tensordichtheid met gewicht 1.

Misschien dat mijn vraag door deze voorbeelden iets duidelijker wordt en dat toch nog iemand mij kan redden.

Alvast bedankt !

[eendavid]

Of ik word helemaal gek, of dit moet zijn

• De determinant van de metrische matrix in een kaart X is een scalaire dichtheid met gewicht -2.
• De determinant van zijn inverse is een scalaire dichtheid met gewicht 2.

Is het je duidelijk voor deze voorbeelden?

[LiesbethDN]

Ja natuurlijk moet het de determinant zijn, sorry.

Het was mij eigenlijk voor geen van de voorbeelden die ik gaf duidelijk.

Ik begrijp wat een tensordichtheid (of relatieve tensor) is, maar dat gewicht blijft mij maar onduidelijk.

[eendavid]

Ik ben niet vertrouwd met jouw notatie, dus als je wat ik schrijf als irrelevant beschouwt kan je beter de notaties van post #2 verduidelijken.

Voor de metrische matrix: schrijf op hoe hij transformeert bij overgang naar een nieuw coördinaatstelsel. herken een matrixproduct

\(TgT^T\)

(met

\(T^i_j=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\)

). Gebruik dat de determinant van een product het product is van de determinanten.

Voor de inverse daarvan: analoog.

Het voorbeeld met de Levi-Civita tensor is juist, maar ik kan niet in 1-2-3 een bewijs geven zonder over p-vormen te spreken. Misschien kan jij het nu wel?

[LiesbethDN]

Ivm het Levi Civita symbool staat er een bewijs in de cursus, en ik denk dat ik het licht gezien heb In alle geval toch de absolute waarde van het gewicht. Maar hoe bepaal je wanneer iets gewicht -2 en iets gewicht 2 heeft ? Dat zie ik precies toch nog niet zo goed.

[eendavid]

Als je de instructies uit de vorige post volgt, rolt het teken er gratis mee uit.

[LiesbethDN]

Daar ga ik eens even mee puzzelen dan en de andere voorbeelden uit de cursus nakijken.

Bedankt alvast !