Een vallend stuk touw

[dirkwb]

Een touw (niet uitrekbaar) en een bal worden losgelaten op een bepaalde hoogte op een tijdstip t0. Op een tijdstip t1 is het touw getekend tevens wordt het stuk touw aan één uiteinde losgelaten. Wat is de verhouding van de tijd totdat ze de grond raken?

Luchtwrijving e.d. moeten buiten beschouwing worden gelaten.

1 1132 keer bekeken

[Jan van de Velde]

ongeveer 5 : 6 (waarbij het eind van het touw het snelst is)

Eerlijk zélf opgegoogled voor een touwtje van ca 1 m lengte.

En de wiskunde die erbij hoort mag je van me houden.......

[BarryVos]

Ik doe een poging al weet ik de w nergens in het plaatje te passen.

Het dal van het touw beweegt half zo langzaam omlaag als het losgelaten uiteinde van het touw en de bal. Daar staat tegenover dat het dal van het touw al dichter bij de grond is dan de bal. De gezochte verhouding lijkt dus afhankelijk te zijn van de afstand van de grond tot het ophangpunt (welke we h noemen).

Er is sprake van constante acceleratie. Daarmee stellen we vast dat

\(t=\sqrt{\frac{2s}{g}} \rightarrow t \equiv \sqrt{s}\)

De verhouding

\(\inline s_{touw} : s_{bal}\)

is

\(h- \frac{l}{2}:h=1- \frac{l}{2h}:1\)

De verhouding

\(\inline t_{touw} : t_{bal}\)

is dus

\(2 \sqrt{1- \frac{l}{2h}}:1\)

De wortel volgt uit de equivalentie tussen tijd en de wortel van de afstand bij constante acceleratie. De vermenigvuldiging met 2 volgt uit het gegeven dat het dal twee keer langzamer valt dan de bal.

Dat lijkt me opzich redelijk, ware het niet dat de w niet gebruikt wordt. Het zal dus ongetwijfeld fout zijn

[Jan van de Velde]

Het zal dus ongetwijfeld fout zijn

Ik ben bang van wel, want dit:

• Het dal van het touw beweegt half zo langzaam omlaag als het losgelaten uiteinde van het touw en de bal.
• Er is sprake van constante acceleratie.

zijn verkeerde veronderstellingen

[BarryVos]

Ik ben bang van wel, want dit: zijn verkeerde veronderstellingen

Ik geef toe dat ik geen expert ben op het gebied van vallende touwen, maar dat leek me nou juist heel logisch.



Wat betreft de tweedeling: de top (van het dal) legt twee keer minder afstand af dan het losgelaten uiteinde. Ze zijn beide op hetzelfde moment 'uitgezwaait'. Dan zal de top zich op elk gegeven moment toch twee maal minder hebben verplaatst?

En de constante acceleratie:

Het touw zwaait naar beneden als gevolg van de zwaartekracht die op het linkerdeel van het touw werkt. Ik zie niet in hoe dat niet een eenparig versnelde beweging is :S

Daarbij ga ik er wel vanuit dat de zwaai die het touw maakt, zelf geen rare bijeffecten creeert. Is dat de ultieme verkeerde veronderstelling?

(oh verdorie. De vermenigvuldiging met 2 in de laatste vergelijking moet natuurlijk

\(\inline \sqrt{2}\)

zijn, gezien de bepaalde equivalentie...)

[Jan van de Velde]

Je bent slachtoffer van een eerste kennismaking met het vallende ketting fenomeen. Mede verantwoordelijk voor het knallen van de zweep en nog een paar leuke dingetjes.

Als het touw een stukje gevallen is, hangen delen van het touw alweer stil, maar lager. Die stukjes hádden dus hoogte-energie, en die werd omgezet in bewegingsenergie. Maar die bewegingsenergie zijn ze intussen óók weer kwijt.

vallend_touw 1133 keer bekeken

Dat kán natuurlijk niet, zomaar verdwenen energie. In een ideaal touw wordt die energie van die stilvallende stukjes overgedragen aan het nóg wél bewegende deel van het touw, dat daardoor sneller valt dan de valversnelling. (in een minder ideaal touw natuurlijk nog wat zijdelingse beweging, warmte etc.)

Naarmate een groter deel van het touw al gevallen is worden steeds grotere hapjes energie aan steeds minder nog vallend touw overgedragen. Het laatste eindje ondervindt op dat ogenblik dan ook een énorme versnelling.

Kortom de versnelling van het tipje van het touw is vérre van constant, maar wordt steeds groter en uiteindelijk bijna oneindig. In een zweep kan het dan goed dat dat laatste stukje "door de geluidsbarriëre" gaat en zo een knal veroorzaakt.

[DavidK]

Is de knal van een zweep niet gewoon doordat het een 'object' raakt?

[dirkwb]

@Jan: maakt de lengte van het stuk touw nog iets uit voor de verhouding van de 'valtijden'?

[Jan van de Velde]

Dat klinkt als een voor jou retorische vraag. Ik heb voorzichtigheidshalve mijn eerdere antwoord direct gekwalificeerd als "voor een touwtje van ca 1 m lengte"

Ik krijg dit niet goed doorgedacht. In eerste instantie lijkt het van wel: hoe langer de val duurt, hoe langer een verschil in versnelling zich kan laten gelden. Maar dit beschouwende vanuit de energie wordt het dan weer warrig, want er blijft wel meer energie over om over te dragen bij een langer touw, maar dat moet dan ook weer aan navenant meer touw worden overgedragen. Ga ik naar een ander uiterste (een uiterst kort touwtje) dan fluistert mijn intuïtie voorzichtig dat er niet veel verschil lijkt over te blijven, maar ik ben er niet uit of dat behalve in absolute zin ook in relatieve zin zal gelden.

Gok: ja, hoe langer het touw, hoe groter de verhouding tussen zijn valtijd en de valtijd van een kogel (alle andere invloeden verwaarloosd)

Eerlijk antwoord: geen idee. Ik weet dat dit hele feest al jarenlang onderwerp is van dikke papers in gerenommeerde journals, en wat ik aan wiskunde tegenkom gaat me vér boven de pet.

tell us.....

[eendavid]

Zie hier: klik. Ze geven zowel simulaties als een benaderend model. De w-afhankelijkheid kan je niet uit het model halen.

Integreer uitdrukking (20), dan heb je y(t). Inverteer dan y(t)=L. Dat zal wel afhankelijk zijn van de lengte van de draad.

edit: link fixed, was verstrooid, dank u Phys

[Phys]

Zie hier: klik.

Waar?

[eendavid]

nu doet ie't

[DePurpereWolf]

Stel je hebt een kogel aan een touw, je laat het touw nu helemaal uit de beschouwing, de kogel valt, potentiële energie word omgezet in bewegingsenergie. Op een punt is het touw op en word de kogel afgeremd. Als het een elastisch touw is, dan springt de bal weer op, en krijg je een massa veer systeem. Het probleem is dan denk ik dat een ketting of een touw alles behalve elastisch is. Een ketting kan dat zijn, maar alleen als het uitgerekt word, als de kogel weer omhoog komt en de spanning op de ketting verdwijnt is het niet meer elastisch.

Als we toch elastisch willen denken, kun je een touw voorstellen als heelveel kleine kogeltjes aan heelveel kleine elastiekjes.

Voor twee kogels, de ene hangt aan een elastiek aan het plafond, de tweede aan de eerste bal met een elastiek. De eerste kogel valt, het trekt de elastiek uit terwijl de andere bal nog aan het vliegen is. Ik denk dat er dan toch wel een tweedegraads differentiaal vergelijking van te maken is, alleen weet ik niet of het wel toepasbaar is op een touw, dat is volgens mij namelijk niet elastisch.

Misschien dat de volgende afbeelding een ideetje is?

Zal er eens hard over moeten nadenken, want differentiaal vergelijkingen is niet iets wat ik zomaar uit mijn duim kan zuigen, maar misschien brengt het iemand op een idee.

touwvalt 1134 keer bekeken

[dirkwb]

Via een energiebalans.

\( E_z =mgh= ( \rho l) gh\)

, h moet bepaald worden uit het zwaartepunt.

\( h = \frac{1}{M} \int_0^{x}\ r \mbox{d}m + \frac{1}{M} \int_x^{(l+x)/2}\ 2 \cdot r \mbox{d}m \)

Merk op dat

\( dm = \rho r dr \)

en

\( M= \rho \cdot l \)

zo dat we vinden:

\(h=\frac{1}{4l}(l^2+2xl-x^2) \)

hieruit volgt dus voor E_z



De zwaarte-energie

\( E_z = - \frac{1}{4} \rho g (l^2+2xl -x^2) \)

De kinetische energie is een stuk makkelijker te vinden:

\( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)

De massa van het linkerstuk (dat dus beweegt):

\( \frac{1}{2} \rho (l-x) \)

dus we vinden

De kinetische energie:

\( E_k = \frac{1}{4} \rho (l-x) v^2 \)

De totale energie blijft behouden, maar hoe vinden deze constante met al die x'-en? Nou op t=0 is x=0 en is de kinetische energie nul. Dus x=0 invullen in E_z levert op

De totale energie:

\(E_{tot} = -\frac{1}{4} \rho g l^2 \)

Nu kunnen we v^2 oplossen uit

\( E_{kin} = E_{tot} - E_z \)

ofwel:

\(\frac{1}{4} \rho (l-x) v^2 = -\frac{1}{4} \rho g l^2 + \frac{1}{4} \rho g (l^2+2xl -x^2) \)

hieruit volgt de snelheid:



De snelheid

\( v = \sqrt{ \frac{g(2xl-x^2)}{l-x} }\)

We weten dat v=dx/dt dus dt = 1/v dx met twee integralen erbij en met y =l-x:

\( t = - \frac{1}{ \sqrt{g}} \int_{l}^{l-x'}\ \sqrt{\frac{y}{l^2-y^2} }\ \mbox{d}y \)

Nu alles in y/l schrijven en een belangrijke sqrt(2*l) eruit halen:

\( t = - \sqrt{ \frac{2l}{ g}} \int_{l}^{l-x'}\ \sqrt{\frac{y/l}{1-(y/l)^2}}}\ \mbox{d}(y/l) \)

Links herkennen we de tijd die nodig is om een bal op dezelfde hoogte te laten vallen! We noemen deze tijd t_b en substitueren p = y/l en omdat x=0,...,l loopt de integraal van 0 tot 1:

\( t= t_b \cdot \int_0^{1}\ \sqrt{ \frac{p}{2(1-p^2)} }\ \mbox{d}p \)

Conclusie

De laatste integraal kan met de computer worden bepaald en we krijgen:

\(t_{touw} = 0.8472 \cdot t_0 \)

Het stukje touw is pakweg 15% sneller dan de bal beneden onder natuurlijk enkele aannames.

[Jan van de Velde]

Zie hier: ..//..

\( t= t_b \cdot \int_0^{1}\ \sqrt{ \frac{p}{2(1-p^2)} }\ \mbox{d}p \)

Conclusie

De laatste integraal kan met de computer worden bepaald en we krijgen:

\(t_{touw} = 0.8472 \cdot t_0 \)

Dirkwb en eendavid zijn het dus nog niet eens. Maar ik zei de gek ga geen scheidsrechter spelen.