Kans op zekere energiewaarden in oneindig diepe put.

[Bert F]

Na het oplossen van een deeltje dat zich in een oneindige potentiaal put bevindt bekom ik:

\(\psi _n=\sqrt{ \frac{2}{L} }sin(\frac{n \pi x}{L})\)

\(E_n=\frac{n^2\bar{h^2}\pi^2}{2mL^2}\)

Nu vraag ik me af wat de kans is om het systeem in een zekere energie aan te treffen, hiervoor los ik volgende integraal op:

\(|\int \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{n \pi x}{L})|^2\)

Klopt dit? kan ik maw op deze manier die kans berekenen?

ik bekom dan als resultaat:

\(\frac{2L}{n^2\pi ^2}((-1)^n-1)^2\)

wat ik erg vreemd vindt, dit zou betekenen dat enkel de oneven n zijn toegelaten? Wat doe ik fout, of nog hoe kan ik de kans berekenen dat het systeem in een zekere energie toestand zit? Groeten.

[eendavid]

Je kan de kans op een zekere energie maar berekenen mits specificatie van de begintoestand. Als de toestand initieel in

\(\psi_n\)

is, en je wil weten wat de kans is om de energie

\(E_n\)

te meten dan is deze uiteraard 1, vermits de toestand genormeerd is:

\(\int |\sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{n \pi x}{L})|^2=1\)

Je hebt dus inderdaad de verkeerde integraal berekend.

[Phys]

Wat je nodig hebt is de begintoestand.

De meest algemene oplossing is

\(\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\exp(-iE_n/t)\)

.

Nu geldt (Fourier)

\(c_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\int_0^L\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\Psi(x,0)\)

\(|c_n|^2\)

geeft je de kans dat wanneer je de energie meet, dit E_n oplevert.

Volgens mij los je dus inderdaad de verkeerde integraal op.

\\edit: eendavid was me voor

[Bert F]

Bedankt ik begrijp het nu.

[Bert F]

ik heb eigenlijk nog een analoog probleem, bij een oneindige 3D potentiaal put wordt de toestandvergelijking:

\(\psi_{nml}=\frac{2}{L}sin(\frac{n\pix}{L})sin(\frac{m\pix}{L})sin(\frac{l\piz}{L})\)

wordt dit dan

\(c_{nml}={\frac{2}{L}}^{(3/2)}\int_0^L\sin(\frac{n \pi x}{L})\ \sin(\frac{m \pi y}{L}) \sin(\frac{l \pi z}{L} )\Psi(x,0)_{nml}\)

Of maw een c met 3 indexen? Groeten.

[eendavid]

Er hoeven geen indices te staan aan psi(x,0). Dat is een willekeurige begintoestand, die niet eens een eigentoestand van de hamiltoniaan hoeft te zijn. Verder is dat inderdaad correct: je bekomt een component voor elke toestand, en de toestanden hebben we gelabeled adhv 3 indices.

[Bert F]

maar krijg ik niet drie integralen?

[eendavid]

Uiteraard integreer je over x,y en z; en heb je psi(x,y,z,0); en moeten er haakjes rond de breuk voor de formule. Ik dacht dat je een shortcut notatie gebruikte.

[Bert F]

ik zag mijn fout ook maar net toen ik dat berichtje poste, bedankt ik begrijp het.