Som

[dirkwb]

Convergeert de onderstaande som? Zo ja, naar wat?

\(\frac{1}{4!}+\frac{4!}{8!}+\frac{8!}{12!}+... \)

Ik zie na simplificatie niet goed in of dat zo is.

[PeterPan]

\(=\frac{p}{1}+\frac{q}{2}-\frac{q}{3}-\frac{p}{4}+\frac{p}{5}+\frac{q}{6}-\frac{q}{7}-\frac{p}{8}+\cdots\)

voor zekere integers

\(p\)

en

\(q\)

.

[dirkwb]

Zijn die p en q iedere keer hetzelfde? En is dat convergent?

[Klintersaas]

Ik denk wellicht te eenvoudig, maar de algemene term van deze reeks lijkt mij

\(\frac{(4n-4)!}{(4n)!}\)

.

Met het kenmerk van d'Alembert (dat je hier kunt gebruiken aangezien het om een reeks met uitsluitend positieve termen gaat, toch?):

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(4n)!}{(4n+4)!} \cdot \frac{(4n)!}{(4n-4)!} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2(4n)!}{(4n+4)!(4n-4)!}\)

Ik heb te weinig tijd om die limiet mooi uit te rekenen, maar naar mijn gevoel (noemer groeit sneller dan teller) gaat hij naar 0 en dat zou convergentie betekenen.

[PeterPan]

Hint 2:

\(\frac{1}{4!}+\frac{4!}{8!}+\frac{8!}{12!}+... = \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4} + \cdots + \frac{1}{(4n+1)\cdot(4n+2)\cdot(4n+3)\cdot(4n+4)} + \cdots\)

Hint 3:

\((4n+1)(4n+4) - (4n+2)(4n+3) = ?\)

[PeterPan]

Breuksplitsen geeft:

\(\frac{1}{4!}+\frac{4!}{8!}+\frac{8!}{12!}+... = \frac16\cdot\frac{1}{1}-\frac12\cdot\frac{1}{2}+\frac12\cdot\frac{1}{3}-\frac16\cdot\frac{1}{4}+\frac16\cdot\frac{1}{5}-\frac12\cdot\frac{1}{6}+\frac12\cdot\frac{1}{7}-\frac16\cdot\frac{1}{8}+\cdots\)

.

\(-\log(1-x) = \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \cdots\)

(

\(|x|<1\)

).

Dan is

\(-\log(1-x) - \log(1-ix) - \log(1+ix) - \log(1+x) = 4(\frac{x^4}{4}+\frac{x^8}{8}+\frac{x^{12}}{12}+\cdots)\)

(ga na!).

\(-\log(1-x) -i \log(1-ix) +i \log(1+ix) + \log(1+x) = 4(\frac{x^3}{3}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^{11}}{11}+\cdots)\)

\(-\log(1-x) + \log(1-ix) + \log(1+ix) - \log(1+x) = 4(\frac{x^2}{2}+\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{10}+\cdots)\)

\(-\log(1-x) +i \log(1-ix) -i \log(1+ix) + \log(1+x) = 4(\frac{x}{1}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+\cdots)\)

Dus de rij is gelijk aan

\(\lim_{x\uparrow 1}( \frac{1}{24}(-\log(1-x) +i \log(1-ix) -i \log(1+ix) + \log(1+x)) -\frac18(-\log(1-x) + \log(1-ix) + \log(1+ix) - \log(1+x)) +\)

\(+ \frac18(-\log(1-x) -i \log(1-ix) +i \log(1+ix) + \log(1+x)) -\frac{1}{24}(-\log(1-x) - \log(1-ix) - \log(1+ix) - \log(1+x)))\)

\(= \lim_{x\uparrow 1}(-\frac{i+1}{12}\log(1-ix) + \frac{i-1}{12}\log(1+ix) +\frac13\log(1+x)) = \)

\(= \lim_{x\uparrow 1}\frac{1}{12}(-\log(1+x^2)-2\arctan(x)+4\log(1+x)) = \frac{1}{12}(\log(8) - \frac{\pi}{2})\)

[PeterPan]

In het algemeen geldt:

\(\frac{a}{1} + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4} + \frac{a}{5} + \frac{b}{6} + \frac{c}{7} + \frac{d}{8} + \frac{a}{9} + \frac{b}{10} + \cdots\)

.