Buigen of krommen van een dunne, flexibele staaf

[three14s]

Je bent in het bezit van een rechte, lange, dunne, flexibele staaf met lengte L. Door beide uiteinden vast te nemen, kracht te gebruiken en die uiteinden samen te brengen, vorm je die rechte staaf om tot een cirkelvorm met corresponderende straal R= L/(2*pi).

Mijn vraag is: - welke kracht heb je hiervoor nodig (uiteraard afhankelijk van het soort materiaal en de doorsnede van de staaf)?

- Hoeveel potentiele energie kan je hiermee opslaan?

[jhnbk]

Het zal geen cirkel zijn maar een sinusvorm. Ik heb dit verplaatst naar sterkteleer.

[dirkwb]

Het zal geen cirkel zijn maar een sinusvorm.

Hoezo?

[jhnbk]

Zie hier bijvoorbeeld.

[three14s]

Ter verduidelijking van de opgave:

- het is niet de bedoeling de elastische staaf als een veer in te duwen en er dan een soort van sinusvorm van te maken

(hiervoor heb je een kracht nodig evenwijdig met de staaf)

- het is wel de bedoeling om van de elastische staaf een cirkel te maken: de twee uiteinden worden samengebracht door een kracht loodrecht op de staaf

[jhnbk]

Dan nog zal je geen cirkel krijgen. Zie de link eens.

[three14s]

Als ik nu een blad papier neem kan ik die toch oprollen tot een cirkelvormige koker! Niet?

[jhnbk]

In die zin zal je het moeilijk krijgen een oplossing te vinden. Je hebt dus een staaf, links er rechts neem je deze vast en oefen je een kracht uit? Is er gegeven hoe deze kracht wordt uitgeoefend? Loodrecht op de lengte van de staaf of onder een hoek? Aan beide kanten hetzelfde? Het lijkt mij zeer onwaarschijnlijk dat je een exacte (analytische) oplossing gaat vinden.

[oktagon]

Mogelijk een momentenkracht op beide einden klemmen;doe je zoiets handmatig met een dun staafje,dan oefen je ook een momentenkracht uit.

Je zult "ergens "de staaf bij het opstarten over een dood punt moeten helpen om het proces te versnellen;een tikje in het midden!

[Sjakko]

Volgens mij kun je een balk wel buigen in een cirkelvorm, namelijk door te zorgen dat

\(\frac{d \theta}{dx}=constant\)

.

\(\theta\)

is de hoekverdraaiing als functie van de plaats x op de balk. Als

\(\frac{d \theta}{dx}=constant\)

, dan betekent dat gewoon dat elk volgend stukje balk, ofwel dx, evenveel verdraaid is ten opzichte van het vorige stukje balk. Zo buigt de balk langs de omtrek van een cirkel. Aangezien het buigend moment een maat is voor

\(\frac{d \theta}{dx}\)

(zie de Euler-Bernoulli balkvergelijking), moet je zorgen dat het buigend moment constant is. Dat kun je gewoon doen door op beide uiteinden een moment aan te brengen (de ene tegengesteld aan de ander).

[dirkwb]

Je zult "ergens "de staaf bij het opstarten over een dood punt moeten helpen om het proces te versnellen;een tikje in het midden!

Een goede opmerking: het hangt dus zeer sterk af van de materiaaleigenschappen hoe gemakkelijk dit gaat.

[jhnbk]

@Sjakko: Denk even mee met het volgende:

\(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2}=-\frac{M(x)}{EI}\)

In functie van het buigmoment moet y de vorm hebben van een cirkel. Stel dat we een staaf met lengte 2l hebben. Dan zou, met de oorsprong in het midden, y iets van de vorm

\(\sqrt{l^2-x^2}\)

.

Invullen en oplossen geeft:

\(M(x)=\frac{E\,I}{\sqrt{{l}^{2}-{x}^{2}}}+\frac{{x}^{2}\,E\,I}{{\left( {l}^{2}-{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\)

Ik zie niet in hoe zulke momentenlijn mogelijk is.

Een andere kanttekening is uiteraard de geldigheid van al deze formules. Iemand enig idee?

[oktagon]

Ik deed een kleine test met een ronde kunststof staaf en kon die,door met de vingers (en armen) de momentenkracht langzaam op te voeren, er een cirkelvorm mee maken.

Dat zou inhouden dat dus de factor IE en lengte van de buis hier een rol in spelen en bij een aanwezige E dus alleen de I en de L van invloed zijn op de twee koppels aan de uiteinden van de staat en omgekeerd bij een statische I de E een rol speelt.

Je komt hier op het terrein van verenstaal;uit de vakliteratuur kom ik aan een max. rek tot ca. 10-12% (5d)

Een hoekverdraaiing bepalen met de gangbare formules in de statica lijkt me moeilijk.

Als je het midden van de staaf als ingeklemde factor neemt,begint van daar uit de doorbuiging van het einde van een deel van de staaf.

Die doorbuiging moet volgens de statica-regels cirkelvormig zijn;heb je een ombuiging verkregen van de halve staaf (neem die aan als 0.5L),dan heeft de ontstane boog een straal van .25*pi* .5L = .125*pi*L= 0.3927 *L,onder voorwaarde,dat ook de tussentijdsvervorming cirkelvormig is.

Je hebt nog niet het max. koppel op dat punt bereikt.

Wat moet je nu aannemen als hoekverdraaiing bij de inklemming in deze situatie ,0 gr.,45 gr.of wat dan ook

Is de buiging voltooid,dan heeft de ontstane boog een halve cirkelvorm voor de halve lengte en -ik heb daar geen trek in- kun je de diameter daarvan berekenen.

Het lijkt me niet eenvoudig om achter de waarheid te komen en in hoeverre meneer Euler hier met zijn theorien een rol speelt.

Bij Euler treden er evenwichten in constructies op,dat zou in dit geval een samenvoeging van de staafeinden met de erop werkende koppels,die bij vastlassen (of wat dan ook) een permanent aanwezige veerkracht/trekkracht in die rondgebogen staaf achterlaat.

Bij het weer in zijn originele staat terugbrengen,wordt die opgeroepen veerkracht opgeheven.

De topichouder heeft wel een intrigerend probleem op tafel gelegd,we zijn daar nog niet uit tot heden!

[Sjakko]

@Sjakko: Denk even mee met het volgende:

\(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2}=-\frac{M(x)}{EI}\)

In functie van het buigmoment moet y de vorm hebben van een cirkel. Stel dat we een staaf met lengte 2l hebben. Dan zou, met de oorsprong in het midden, y iets van de vorm

\(\sqrt{l^2-x^2}\)

.

Invullen en oplossen geeft:

\(M(x)=\frac{E\,I}{\sqrt{{l}^{2}-{x}^{2}}}+\frac{{x}^{2}\,E\,I}{{\left( {l}^{2}-{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\)

Ik zie niet in hoe zulke momentenlijn mogelijk is.

Een andere kanttekening is uiteraard de geldigheid van al deze formules. Iemand enig idee?

Ik ben het met je eens dat het aanbrengen van een dergelijk moment lastig wordt , maar dat vreemde moment ontstaat volgens mij door de ongeldigheid van bovenstaande formule. Die geldt namelijk alleen bij kleine doorbuigingen. Ik heb een goed stukje gevonden in een sterkteleerboek (MECHANICS OF MATERIALS, SI Edition, R.C. Hibbeler);



Ik had in gedachten de positie x ook al langs de doorgebogen balk genomen (dus met de cirkel mee). Vanwege de geldigheid van de formule lijkt het me dus niet zo handig om de momenten in termen van doorbuiging te beschouwen, maar eerder te kijken naar de kromming;





Vergelijking 12-2 lijkt me duidelijkheid te scheppen; bij een constant buigend moment is er een constante kromming en dus een cirkelvorm. Op beide uiteinden van de balk een moment aanbrengen (waardoor een constant buigend moment over de gehele balk ontstaat) zou dan resulteren in een cirkelvorm, lijkt me.

[jhnbk]

De niet vereenvoudigde vorm lijkt mijn niet analytisch te berekenen. (Althans de differentiaalvergelijking)

EDIT: kijk eens aan

\(\frac{\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2}}{\left(1+(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} )^2\right)^{3/2}}=-\frac{M(x)}{EI}\)

Terug ingeven van

\(y=\sqrt{l^2-x^2}\)

krijg ik

\(M(x)= \frac{EI}{l}\)