Idealiseren van traagheidsmoment i

[Sjakko]

Probeer deze formule eens,dat wordt dan een standaard-berekening voor de balkhoogte,doordat de h de enigste onbekende is en de rest (I,b,d) de bekenden.

Dat hebben we al geprobeerd maar we kwamen tot de conclusie dat dit analytisch niet mogelijk is, vandaar dat we de aanname dunwandigheid maakten om uiteindelijk toch op elk punt de benodigde h te kunnen berekenen.

[oktagon]

Bij de bepaling van het profiel bij het grootste traagheidsmoment moet je in dit gedachte verhaal een keuze maken van de breedte;je begint met het taxeren van het profiel,door het invoeren van een breedte met een wanddikte en daar rolt een hoogte uit.

Is dat een onmogelijk model,dan probeer je een tweede met een gewijzigde breedte en wanddikte.

Is je hoofdmodel naar tevredenheid,dan kun je die maten gebruiken voor de gehele balk;ik zie geen theor.probleem!

[Sjakko]

door het invoeren van een breedte met een wanddikte en daar rolt een hoogte uit.

Probeer dit maar eens analytisch. Daar kwamen we niet uit en dat is wel wat de topicstarter wilde zien. Vandaar dat ik die dunwandigheid aannam waardoor we wel analytisch tot een profielhoogte h kunnen komen.

[oktagon]

Een vb: 12* I = bh3 -(b-2d)*(h-2d)3 ;

neem aan een max Ix van 184 cm4 ,dat geeft een koker van 8 x 6(b) x 1(d) cm ;(je moet 2d aftrekken ipv je eerdere door mij overgenomen 1d);nu kom je op een andere plek van de balk op 60 cm4.Je handhaaft de b en de d,

dan

12*60=1*h³ - (6-2)*(h-2)³=h³ -4*(h-2)³,

720=h³-4h³+24h²-48h+32 = -3h³+24h²-48h+32

-3h³+24h²-48h+32 -720 =0

3h³-24h²+48h+688 =0

en daar kom je toch wel uit?

[Sjakko]

Nou, ik niet.

je moet 2d aftrekken ipv je eerdere door mij overgenomen 1d

Klopt, is een foutje van de TS.

[oktagon]

Een vb: 12* I = bh3 -(b-2d)*(h-2d)3 ;

neem aan een max Ix van 184 cm4 ,dat geeft een koker van 8 x 6(b) x 1(d) cm ;(je moet 2d aftrekken ipv je eerdere door mij overgenomen 1d);nu kom je op een andere plek van de balk op 60 cm4.Je handhaaft de b en de d,

dan

Ik nam de b als 1 aan en dat moest 6 zijn!

12*60=6*h³ - (6-2)*(h-2)³=6*h³ -4*(h-2)³,

720=6*h³-4h³+24h²-48h+32 = 2*h³+24h²-48h+32

2*h³+24h²-48h+32 -720 =0

2*h³-24h²+48h+688 =0

en daar kom je nu toch wel uit?

[oktagon]

Omdat derde machten niet zo eenv. te ontleden zijn,kun je ook proberen en na proberen van:

h= 5,25 cm ( dus profiel 5.25 * 6 * 1 cm) kom ik aan

6* 5.25³-4*(5.25-2)³ = 731,dus ik zit dicht bij de gevraagd 720 = 12 * 60 cm⁴

Het verhaal houdt dus in dat je er wel uit kan komen,als je de derde machts vergelijking oplost,maar de bovenstaande methode is wat makkelijker.

Nb.Als de formule bij een rekenprogramma (bij mij QB4.5) invoert,kun je gaan goochelen met varianten en er zo achter komen.

[Sjakko]

Tuurlijk, er valt wel een mouw aan te passen (numeriek), maar analytisch lukt het vooralsnog niet. Ik geloof wel dat de oplossing bestaat overigens, maar ik heb me er nooit in verdiept en ik denk ook niet dat de TS zit te wachten op het niveau wiskunde dat ik vrees dat daar bij komt kijken.

[oktagon]

Ik maakte op mijn QB 4.5 (heel antiek in moderne ogen) een programmaatje en daar rollen alle I's uit,na het inputten van h,b,en d:

dus:

cls

input"h,b,d in cm:",h,b,d

I=((b*h^3 -(b-2d)*(h-2d)^3)/12

print "I in cm4" ;I

end

en probeer weer naar begin van je programma te komen,via herhalen

Ik kwam bijv.met de opgaaf bij mij op (als ik me niet vergis) op een h van 5.24... cm om aan de I = 60 cm⁴te komen.

Als je via een moderner programma dus dit soort zaakjes (4 of 5 regels) invoert,kun je allerhande zich steeds herhalende berekeningen met div.formules heel simpel berekenen.

[jhnbk]

Kan iemand even samenvatten wat er wiskundige (of numeriek) moet gebeuren? Dan wil ik wel een poging wagen.

[oktagon]

Hier-even snel- het programma,dat net gereed kwam:

[Sjakko]

Kan iemand even samenvatten wat er wiskundige (of numeriek) moet gebeuren? Dan wil ik wel een poging wagen.

In de volgende vergelijking

\(\frac{bh^3-(b-2d)(h-2d)^3}{h}=\frac{6M}{\sigma_{max}}\)

schrijven in de vorm

\(h(M)=...\)

. Alle andere symbolen zijn constanten.

[jhnbk]

Kan opgewerkt worden naar een derdegraadsvergelijking welke dus altijd ten minste één reële oplossing heeft. Dit kian met Cardano

De formule die je zal krijgen is wat groot dus kan je beter numeriek werken. (Zou 3 ingewikkelde volledige regels latex in beslag nemen dus ga ik ze niet posten)

[oktagon]

Om een hoogte te vinden,die past bij een I (bij eenzelfde b en evt.aanwezige d) kun je ook het volgende doen (m.i.);

Stel,je hebt bij een profiel van 12 * 10 cm een I van 1000 cm⁴ dus een hoogte van 10 cm,

dan is bij een I van 500 cm⁴ het profiel 12 * h2 cm en die h2 = {( 500/1000)*10³}^(1/3)=7.9353 cm !

Controle: Bij een profiel van 12 * 7.9353 cm is I = 12 * 7.9353³/12 =499.6893 cm⁴;door afronding in de h2 ben je een fractie van de 500 cm⁴ verwijderd!

De verhouding van de hoogtes is dus recht evenredig met de derde machtswortel uit de (verhouding van de traagheidsmomenten ) maal de oorspr.hoogte ³,als ik het zo goed formuleer,maar dat laat ik aan de taaldeskundige wiskundigen over.

In deze situatie iets eenvoudiger dan "Cardano"!

[jhnbk]

Numeriek kan je vrij snel een oplossing vinden Oktagon. Probeer anders eens de Newton-Raphson methode aan je programma toe te voegen.