Norm lineaire operator

[dirkwb]

[attachment=3110:1.PNG]

Ik heb dit:

\( ||A||_2^2 \leq \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2 \)

dus

\( ||A|| \leq \sqrt{ \frac{1}{2} }\)

En hoe kies ik nu f₀ zodat

\(\frac{||Af_0||}{||f_0||} \)

maximaal is?

[PeterPan]

\( ||A||_2^2 < \frac{1}{2} \cdot ||f||_2^2\)

(tenzij f=0 b.o.).

Dus

\(\frac{||Af_0||}{||f_0||}\)

heeft geen maximum.

Wel een supremum.

[dirkwb]

Wel een supremum.

Ok, hoe bepaal ik het supremum?

[PeterPan]

Maak een rij functies

\(f_n\)

, waarvoor

\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)

.

Merk op dat

\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)

voor grote waarde van

\(x\)

.

Dus zou je kunnen kiezen voor

\(f_n\)

een indicator met drager voorbij

\(x=n\)

.

[dirkwb]

Maak een rij functies

\(f_n\)

, waarvoor

\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||} = ||A||\)

.

Merk op dat

\(\frac{x}{2x+1} \approx \frac12\)

voor grote waarde van

\(x\)

.

Dus zou je kunnen kiezen voor

\(f_n\)

een indicator met drager voorbij

\(x=n\)

.

Zoiets heb ik eerder in mijn dictaat gezien, maar ik snap niet waarom het iedere keer een indicatorfunctie is en ik snap ook niet hoe die rij eruit moet zien

[PeterPan]

Neem

\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)

.

Wat is dan

\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)

en wat is

\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)

en wat is dan

\(\lim \frac{||Af_n||}{||f_n||}\)

.

Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een eindige simpele integraal hebt.

[dirkwb]

Neem

\(f_n(x) = 1_{[n,n+1)}(x)\ \mbox{d}x\)

.

Wat is dan

\(\int_0^{\infty}f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)

\( \int_n^{n+1}\ 1^2\ \mbox{d}x =1 \)

en wat is

\( \int_0^{\infty}\frac{x^2}{(2x+1)^2} f^2_n(x)\ \mbox{d}x\)

Bedoel je dit:

\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)

?

Waarom een indicatorfunctie? Wel, omdat je dan een eindige simpele integraal hebt.

Maar vaak neemt mijn docent bij de indicatorfunctie [n,n+1], maar niet altijd, daarom raak ik verward.

[dirkwb]

De opgave reuploaded:

1 758 keer bekeken

[PeterPan]

Bedoel je dit

\( \int_n^{n+1} \left( \frac{x}{2x+1} \right) ^2\ \mbox{d}x\)

?

Ja.

Je hoeft niet per se de indicatorfunctie

\(1_{[n,n+1]}\)

te nemen.

Je mag ook

\(1_{[\sqrt{n},\sqrt{n+1}]}\)

nemen.

Maar ik houd het liever zo eenvoudig mogelijk.