Plaats-tijd diagram met formule versnelling

[PWS_V6]

Bedankt voor je reactie, maar het is me nog niet helemaal duidelijk.

Misschien kun je dit toepassen op mijn formule?

^{Als je LaTeX wilt gebruiken, moeten je beginnen met [ tex] en afsluiten met [ /tex] (zonder spatie uiteraard!).}

[Denpos]

Bedankt voor je reactie, maar het is me nog niet helemaal duidelijk.

Misschien kun je dit toepassen op mijn formule?

^{Als je LaTeX wilt gebruiken, moeten je beginnen met [ tex] en afsluiten met [ /tex] (zonder spatie uiteraard!).}

Haha ja dat kan ik wel begrijpen met die warboel van poging tot LaTeX Ik zal eens proberen (mijn cursus mechanica is immers al ver achterwege gelaten), de versnelling = a en constant?

[dirkwb]

Haha ja dat kan ik wel begrijpen met die warboel van poging tot LaTeX Ik zal eens proberen (mijn cursus mechanica is immers al ver achterwege gelaten), de versnelling = a en constant?

Ik heb geen idee wat je daar aan het doen bent ik zie (nogmaals) een tweede orde niet-lineaire DV. Ik zou niet weten hoe je zoiets aanpakt. Kan je kort aangeven hoe jij zoiets aanpakt?

[Denpos]

Ik heb geen idee wat je daar aan het doen bent ik zie (nogmaals) een tweede orde niet-lineaire DV. Ik zou niet weten hoe je zoiets aanpakt.

Als je beide leden vermenigvuldigd met dx/dt (een algemeen trukje als de kracht gekend is in functie van de plaats..) krijg je na wat "foefelen" met de vergelijking (je vormt ze namelijk om tot

\(mvdv = f(x)dx\)

, als je integreert herken je meteen in het linkerlid een deel van de wet van energiebehoud) en gebruikmakend van het feit dat de integraal van F(x)dx een krachtpotentiaal is met tegengesteld teken, net de wet van energiebehoud. Normaalgezien zou je om de vergelijking te bepalen genoeg beginvoorwaardes moeten krijgen om de totale energie te berekenen en kan je na, alweer wat foefelen, zoals ik het noem, integreren zodat de tijd in functie van de plaats gekend is.

[dirkwb]

Als ik de vgl. zo bekijk werkt dat trucje niet.

[Denpos]

Het zou natuurlijk inderdaad kunnen dat het hier niet mogelijk is zoals je zegt... Ik kan er dus compleet naastzitten

Maar dit is de methode die ik altijd gebruik (en mij ook zo is aangeleerd uiteraard) indien de kracht enkel in functie van de plaats gekend is, en je de plaats in functie van de tijd moet kennen (wat mij hier het probleem toch lijkt?).

Ik zal het nog eens proberen, nu natuurlijk MET LaTeX

\(m \frac{dv}{dt} = \digamma(x)\)

of vermenigvuldigen aan beide kanten met

\(\frac{dx}{dt}\)

geeft

\(m\frac{dv}{dt}\frac{dx}{dt} = f(x)\frac{dx}{dt}\)

of (aangezien

\(\frac{dx}{dt} = v\)

in het linkerlid, breng je nu de overblijvende dt van het linkerlid naar het rechterlid, hierdoor schrap je dt in het rechterlid en blijft

\(f(x)dx\)

staan)

(1)

\(mvdv = f(x)dx\)

Zoals ik reeds zei, er bestaat een krachtpotentiaal bestaat, gelijk aan de arbeid van de kracht maar met tegengesteld teken:

\(\phi(x) = -\int{f(x)dx}\)

Beide leden integreren van vergelijking (1) levert ons (en rekening houdend met de krachpotentiaal):

\(\frac{m}{2}(v² - v0²) = +\int{f(x)dx} = \phi(x) - \phi(x0)\)

Vergeet niet de wet van energiebehoud:

\(\frac{mv²}{2} + \phi(x) = \frac{mv0²}{2} + \phi(x0) = E\)

, de totale energie, deze kan je normaal berekenen uit de beginvoorwaardes

Je had evengoed de wet van energiebehoud meteen kunnen schrijven... Hierna krijg je achtereenvolgens

\(\frac{m}{2}v² = E - \phi(x)\)

\(v² = \frac{2}{m}(E - \phi(x)\)

\(v = +- \sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E - \phi(x)}\)

Aangezien

\(v = \frac{dx}{dt}\)

Krijg je

\(\frac{dx}{dt} = +- \sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E - \phi(x)}\)

of

\(dx = +- \sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E - \phi(x)}dt\)

of nog

\(+- \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E - \phi(x)}} = dt\)

\(+- \sqrt{\frac{m}{2}}\int{\frac{dx}{\sqrt{E - \phi(x)}}} = \int{dt}\)

Na integratie:

\(+- \sqrt{\frac{m}{2}}\int{\frac{dx}{\sqrt{E - \phi(x)}}} = t - t0\)

Na inversie van de vergelijking die je hier krijgt heb je x(t). Het teken kan je normaalgezien bepalen door de beginvoorwaarde. (Op t=0 is v = ...) Indien de snelheid 0 is, geeft de zin van de kracht het teken...

De functie

\(\phi(x)\)

kan je berekenen door integrate, E door de beginvoorwaardes in te vullen in de wet van energiebehoud.

[PWS_V6]

Dat vind ik nogal ingewikkeld en ik kan het dan ook niet toepassen op mijn formule.

De versnelling is trouwens niet constant, die neemt toe als y toeneemt.

Zou één van jullie dit op mijn formule kunnen toepassen?

[Denpos]

Dat vind ik nogal ingewikkeld en ik kan het dan ook niet toepassen op mijn formule.

De versnelling is trouwens niet constant, die neemt toe als y toeneemt.

Zou één van jullie dit op mijn formule kunnen toepassen?

Uiteraard is de versnelling niet constant, hij is functie van de plaats (domme opmerking van mij).

Zijn er beginvoorwaardes gegeven? Zoals snelheid/plaats op het tijdstip 0? Dit is een must om deze methode toe te passen, anders vrees ik dat ik je niet kan helpen

Als ik het goed begrijp is

\(a = kx\)

met k een bepaalde evenredigheidsconstante

[PWS_V6]

Zijn er beginvoorwaardes gegeven? Zoals snelheid/plaats op het tijdstip 0?

Aan het begin (t=0) is zowel de snelheid als de plaats 0.

[Denpos]

Aan het begin (t=0) is zowel de snelheid als de plaats 0.

Nu heb ik even geen tijd, maar als je even geduld hebt zal ik straks (tegen een uur of 10) de oplossing proberen te posten

[PWS_V6]

Nu heb ik even geen tijd, maar als je even geduld hebt zal ik straks (tegen een uur of 10) de oplossing proberen te posten

Super!!!! Ik wacht geduldig af.

Als het goed is komt er een toenemend stijgende grafiek uit (plaats op de y-as, tijd op de x-as).

De constantes zijn a, M, m, en L.

[Denpos]

Super!!!! Ik wacht geduldig af.

Als het goed is komt er een toenemend stijgende grafiek uit (plaats op de y-as, tijd op de x-as).

De constantes zijn a, M, m, en L.

Staat m voor massa? Zou wel eens belangrijk kunnen zijn

Hm door nieuwe laptop ben ik al mijn wiskundeprogrammas kwijt, oplossen van de integraal kan dus wel even duren ^^

[Denpos]

Vergeet dat van die massa maar... zoals ik al zei, mechanica zit ver

Bon, zoals ik al zei krijg je na vermenigvulding met

\(\frac{dy}{dt}\)

een differentiaalvergelijking die meteen te integreren is (even bovenstaande theorie toepassen op jouw bewegingsvergelijking, de exacte oplossing kan ik nu helaas niet berekenen):

\(\frac{v²}{2} = \int_{0}^yg(1 + \frac{mu(4ML + 2mL - mu)}{2(mL - mu + 2ML)²}du\)

Aangezien ik geen wiskundige software ter beschikking heb en ik precies geen zin heb om deze integraal uit te rekenen kan je hem mssn zelf snel uitrekenen of met behulp van software uitrekenen?

(Moet MatLab & Derive dringend opnieuw zoeken en installeren , ga ik ondertussen doen)

Om snel even uit te leggen hoe je verder moet, je krijgt na oplossen van die integraal een betrekking van de vorm:

\(\frac{v²}{2} = z(y)\)

Je brengt de 2 en het kwadraat naar de andere kant

(1)

\(v = \sqrt{2z(y)}\)

Het teken voor de wortel bepaal je als volgt (zoals ik al zei, de snelheid is nul dus geeft de zin van de kracht het teken), 2e wet van Newton:

\(F = ma\)

Dus vul y = 0, in de vergelijking

\(mg(1 + \frac{my(4ML + 2mL - my)}{2(mL - my + 2ML)²}\)

Dat geeft ons dat

\(F(0) = mg\)

. Het teken van g moet jij weten, ik heb de opgave niet Maar ik veronderstel positief aangezien je zei dat de plaats steeg in functie van de tijd, dus moet bijgevolg de snelheid ook positief zijn in het punt 0.

Nu moet je natuurlijk nog vergelijking (1) oplossen. Alweer zal ik tot je grote spijt eerst die integraal moeten uitrekenen Maar je doet het als volgt:

\(\frac{dy}{dt} = \sqrt{2z(y)}\)

of

\(\frac{dy}{\sqrt{2z(y)}} = dt\)

of

\(\int_{0}^y\frac{du}{\sqrt{2z(u)}} = \int_{0}^tds\)

of

\(\int_{0}^y\frac{du}{\sqrt{2z(u)}} = t\)

, aangezien t₀ = 0s.

Als je dit oplost krijg je de tijd in functie van de plaats, als je hier nu y uithaalt dan heb je y(t), wat je zoekt

Ik hoop dat dit je wat kan verderhelpen? Het moeilijkste aan de hele oefening is eigenlijk de integraal oplossen Het trukje van vermenigvuldigen met

\(\frac{dy}{dt}\)

moet je gewoon weten. Bij deze: als de kracht gekend is als functie van de plaats biedt dit altijd een oplossing

EDIT: Als ik mij niet vergis is dit ook de oplossingsmethode die stoker bedoelde.. Anders zie ik niet in hoe je door exacte integratie tot de oplossing komt

[dirkwb]

Het kan zijn dat ik iets over het hoofd zie, maar zo zie ik het +Denvos' trucje (let goed op de y(t) dus y als functie van tijd):

\( \ddot{y} = f(y(t)) \longrightarrow \frac{\dot{y}^2 }{2} = \int_0^t f(y(t))\ \mbox{d}t \longrightarrow \frac{1}{2} \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 = \int_0^t g(1+ \frac{my(t)(4ML+2mL-my(t))}{2(mL-my(t)+2ML)^2} )\ \mbox{d}t \)

Hierboven zie ik een differentiaalvergelijking (officieel een integraalvergelijking en dat gaat ver boven mijn pet) die ik niet weet op te lossen, kennelijk denvos wel en dat is zeer interessant

[Denpos]

Het kan zijn dat ik iets over het hoofd zie, maar zo zie ik het +Denvos' trucje (let goed op de y(t) dus y als functie van tijd):

\( \ddot{y} = f(y(t)) \longrightarrow \frac{\dot{y}^2 }{2} = \int_0^t f(y(t))\ \mbox{d}t \longrightarrow \frac{1}{2} \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 = \int_0^t g(1+ \frac{my(t)(4ML+2mL-my(t))}{2(mL-my(t)+2ML)^2} )\ \mbox{d}t \)

Hierboven zie ik een differentiaalvergelijking (officieel een integraalvergelijking en dat gaat ver boven mijn pet) die ik niet weet op te lossen, kennelijk denvos wel en dat is zeer interessant

Ik begrijp je redenering.. maar ik denk dat dit een foute toepassing is van de methode die ik zojuist beschreven heb. Ik begrijp niet waarom je y(t) meteen in de integraal wilt gaan verwerken.

Het lijkt me toch duidelijk in bovenstaand post dat je na oplossen van deze integraal

\(\int_{0}^yg(1 + \frac{mu(4ML + 2mL - mu)}{2(mL - mu + 2ML)²}du\)

de snelheid in functie van de plaats kent, aangezien deze integraal gelijk moet zijn aan

\(\frac{v²}{2}\)

. Ik snap niet waarom je je hier zo druk over maakt, dit is enkel een basismethode in de mechanica om dergelijke bewegingsvergelijkingen op te lossen. Als je de versnelling in functie van de plaats kent (en dus ook de kracht in functie van de plaats), levert deze methode altijd een oplossing. Je krijgt nu een vergelijking die de snelheid in functie van de plaats uitdrukt in plaats van de versnelling in functie van de plaats door gewoon gebruik te maken van de 2e wet van Newton en de beginvoorwaardes.

Als je nogmaals gaat integreren, zoals hierboven beschreven, krijg je de tijd in functie van de plaats... Dit reduceert het probleem inderdaad tot het oplosssen van 2 integralen.

Als je wil haal ik mijn cursus mechanica wel nog eens van onder het stof en scan ik een aantal voorbeelden/paginas in voor je