Doorbuiging van hyperstatische ligger

[freebutterflyx]

Ik had graag de doorbuiging bepaald van een isostatische ligger (>= 3 velden).

Van deze ligger heb ik reeds de momentenlijn. Ik heb een grafiekje met per veld 10 tussenpunten, het maximale moment en ik kan zo ongeveer wel het nulpunt van die momentenlijn bepalen.

Maar nu wil ik hieruit de doorbuiging bepalen.

Ik zou dit kunnen doen door numerieke integratie van de momentenlijn maar

- dan moet ik de waarden uit mijn grafiek overtypen

- ik heb maar 10 waarden per veld. Als mijn veld 5m is, dan heb ik stukjes van 0.5m. Dat zal vermoedelijk te onnauwkeurig zijn.

- waarschijnlijk veel rekenwerk. Het zou dus in excel moeten gebeuren. Manueel zou te veel werk zijn.

Kan ik op een simpele manier de doorbuiging afleiden van de momentenlijn?

bvb door gebruik te maken van de nulpunten van de momentenlijn? Of iets anders?

[oktagon]

Ik meen (!),dat een algemene benaderingsformule voor een doorbuiging luidde": f =5ML²/ (48EI),maar er darren echte geleerden op dit forum!

Als dit klopt,kun je met een eenvoudig formuletje een doorbuiging t.p. berekenen (Er moet dus een factor EI bekend zijn)!

[jhnbk]

Numerieke integratie/oplossen differentiaalvergelijking lijkt mij niet mogelijk. Er zijn echter ander opties:

1) De analogie van mohr gebruiken. Als je de Duitse taal machtig bent kan je dit proberen http://books.google.be/books?id=bL_k6xRI0a...ary_r&cad=0 p127

2) Aangezien je punten hebt van de belasting; kan je proberen het functievoorschrift van die momentenlijn te bepalen.

[jhnbk]

Het zou handig zijn dat je de punten de momentenlijn en een figuur van de ligger hier plaatst.

nog een optie:

3) je zou de integralen van Mohr kunnen gebruiken.

[oktagon]

De theoretische berekening zal zeer complex worden door alle optredende hoekverdraaiingen van de balk op de steunpunten;allemaal via Cross wel te berekenen.

M.i. heb je bij ongelijke balklengtes en een gelijke EI-factor een evenredigheid van de doorbuigingen, overeenkomende met de factor ML² op het gevraagde punt.

Heb je op een bepaald punt een moment M1 in een lengtegebied van L1 dan treedt daar een doorbuiging f1 op;

Op een ander punt met een moment M2 en in een lengtegebied van L2 treedt een doorbuiging f2 op en die zou dan zijn

f2 = {(M2*L2²)/(M1*L1²)} * f1.

Ik heb een idee dat alle "schriftgeleerden" daar een andere mening over hebben,dit is de mijne! Het zijn allemaal benaderingen,omdat echte waarden alleen met micrometingen ter plaatse,gemeten kunnen worden en berekening alleen de waarheid zullen benaderen!

[jhnbk]

Het zijn uiteraard altijd, binnen de perken aanvaardbare, benaderingen. Hoe hou jij rekening met de evenredigheidsconstante? Als je jouw methode toepast moet je tevens ergens één zakking f1 gekend hebben. Die weet je niet niet, tenzij bij een gegeven steunpunt maar daar is de zakking nul en gaat jouw formule niet op.

[oktagon]

Leuk gevonden hoor, een onbekende zakking ,een nulmoment!

Bereken 1 doorbuiging en doe de rest volgens de evenredigheidsmethode:

Ik meen (!),dat een algemene benaderingsformule voor een doorbuiging luidde": f =5ML²/ (48EI),maar er darren echte geleerden op dit forum!

Als dit klopt,kun je met een eenvoudig formuletje een doorbuiging t.p. berekenen (Er moet dus een factor EI bekend zijn)!

Ik ga "Mohr" nog eens bekijken,doch meen dat Mohr bezig was met de ideeele spanning in een door hem ontw.formule ,als verbetering van die van Coulomb.

PS.Dat deed ik,doch vele meneren/dames Mohr aan,doch niet degene waar JHNBK op doelde.

Dus graag JHNBK's verwijzing naar de integralen van Mohr (nader gespecificeerd)met betrekking tot de gevraagde doorbuigingen van de ligger van de TH!

[oktagon]

En vond ik alleen "de cirkel van Mohr" en hetgeen hij berekende over spanningen:

Uit Wiki:

Verborgen inhoud

Cirkel van Mohr

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

De cirkel van Mohr (genoemd naar de Duitse mechanicus Otto Mohr (1835 - 1918)) is een grafisch diagram waarin een mechanische spanningstoestand wordt weergegeven. In een twee-dimensionale ruimte tussen schuifspanning en normaalspanning plot de spanning als een cirkel. De kleinste en grootste principiële hoofdspanningen zijn de snijpunten met de as van de normaalspanning en het middelpunt van de cirkel ligt op deze as.

De twee dimensionale tensorweergave (de tensor van Chauchy) van de spanning is:



Waarin met σ de normaalspanningen en met τ de schuifspanningen zijn aangegeven.

De principiële spanningsrichtingen (σ1 en σ2) zijn per definitie de richtingen waarin geen schuifspanning werkt. Dit zijn wiskundig gezien de eigenwaardes van de spanningstensor, zodat ze als volgt te berekenen zijn:





Het eerste deel van deze formules is grafisch een translatie in de normaalspanningsrichting, het tweede deel is een cirkel.

Als er sprake is van drie dimensies, zijn er drie principiële spanningsrichtingen (σ1, σ2 en σ3). In drie dimensies kan de spanning dan als een ellipsoïde worden weergegeven, maar dit is voor de analyse van schuifspanning niet nodig. De grootste schuifspanning heerst namelijk tussen de grootste en de kleinste principiële spanningsrichtingen (σ1 en σ3), zodat alleen deze twee richtingen geanalyseerd hoeven te worden. In dat geval kan weer een Mohrcirkel worden getekend met als snijpunten van de horizontale (normaalspannings-) as de waarden van σ1 en σ3.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Cirkel_van_Mohr

[jhnbk]

Voor de integralen van Mohr is dit het enige dat ik kon vinden. Indien je de link volgt kom je automatisch op de juiste pagina; de paragraaf begint onderaan.

Ik meen mij te herinneren dat het een andere Mohr was.

[oktagon]

Ik bekeek het boek en neem aan dat het de bedoelde Mohr toch wel was en de hoofdt.5.1 tm ca.5.18 lijken de methode te behandelen van vert.verplaatsingen;ook Mohr doet net als meerdere deskundigen,aannamen met een vervolgoperatie.

Het lijkt me geen eenvoudige methode om dus daaruit iets op te bouwen,dat antwoorden geeft op die van de TH.

Het ligt overigens verder aan de TH,wat hij ermee denkt te gaan doen;wij besteedden er nogal veel tijd aan.

Zulk soort vragen zijn intrigerend voor me,ik krijg wel eens het idee,dat de vragenstellers zelf wat aan het bedenken zijn en dat in de WSF-groep gooien,wat die ervan bakken.Ik kan me niet voorstellen,dat zoiets een school- (sorry) opgave is.

[jhnbk]

Ik zal de methoden van de integralen van Mohr even illustreren aan de hand van een voorbeeld. Stel dat we een IPE200 hebben met een overspanning van 4 m welke we belasten met een verdeelde last van 2 kN/m en zoeken de zakking in het midden.

\(f_m = \int_{0}^{l} \frac{m_1 m_F}{EI} \mbox{d}x\)

met m1 en mF respectievelijk de momentenlijn t.g.v van de belasting en de eenheidslast.

Om de 0,20 m bereken ik een punt van de momentenlijn ten gevolge van de last. Hetzelfde doe ik voor een eenheidsbelasting in het midden. Daarna neem ik de sommatie en vermenigvuldig ik met 0,2 om de integraal te bepalen.

q	2	kN/m
l	4	m
I	1,943E+07	mm^4
E	210	Gpa

Rekentabel:

x	mF	m1	mF m1
0	0	0	0
0,2	0,76	0,1	0,076
0,4	1,44	0,2	0,288
0,6	2,04	0,3	0,612
0,8	2,56	0,4	1,024
1	3	0,5	1,5
1,2	3,36	0,6	2,016
1,4	3,64	0,7	2,548
1,6	3,84	0,8	3,072
1,8	3,96	0,9	3,564
2	4	1	4
2,2	3,96	0,9	3,564
2,4	3,84	0,8	3,072
2,6	3,64	0,7	2,548
2,8	3,36	0,6	2,016
3	3	0,5	1,5
3,2	2,56	0,4	1,024
3,4	2,04	0,3	0,612
3,6	1,44	0,2	0,288
3,8	0,76	0,1	0,076
4	0	0	0
			33,4	kN2m2

Dus

\(f_m=1,64 \, \mbox{mm}\)

[oktagon]

De tabel ziet er wetenschappelijk uit,echter:

Je spreekt over een moment M₁ tgv van een eenheidslast,hier 2 kN/m ?

en

een moment M_F tgv van een puntlast F ? Ik zie geen waarde aangegeven van de F !

(Ik zie in de berekening een M_Fmax van 1 kNm en dat = .25F*L en dan zou F =1 kN zijn !)

In de tabel ,

bij de integraalberekening zie ik een vermenigvuldiging van de momenten M₁ * M_F;ik vraag me af of je een optelsom van de uitkomsten van 2 integralen moet nemen om zodoende een doorbuiging door de eenheids last van 2 kN/m moet krijgen en vervolgens een doorbuiging door de puntlast F en die twee resultaten moet optellen.

Als ik op mijn manier de momenten apart bereken en bij elkaar optel,kom ik aan 5 kNm en pas ik mijn alg.benaderingsformule (als eerder vermeld : f =5ML²/ (48EI)) toe dan vind ik een doorbuiging van 2.02 mm,dus ca. 25 % meer dan jou.

Graag uitleg of ik kilometers mis ben.

[jhnbk]

mF had ik beter mQ van gemaakt. Het is de momentenlijn t.g.v. van de uitwendige belasting. (Hier dus die verdeelde last van 2 kN/m). m1 is de momentenlijn t.g.v. één eenheidslast (1kN) dus aangrijpend in het punt waar de zakking gezocht moet worden.

Voor de integraal steun ik op

\(\int_{x_0}^{x_n} f(x) \mbox{d}x =\left( \frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}x_i \right) \Delta x\)

[oktagon]

Dat zou inhouden,dat indien jij uitgaat van de gelijkm.last van 2kN/m en de puntlast in het midden van 1 kN er met jou laatste integraal een doorbuiging mogelijk ook een doorbuiging uitrolt van ca. 2 mm ?

[jhnbk]

Dat zou inhouden,dat indien jij uitgaat van de gelijkm.last van 2kN/m en de puntlast in het midden van 1 kN er met jou laatste integraal een doorbuiging mogelijk ook een doorbuiging uitrolt van ca. 2 mm ?

Enkel t.g.v. de belasting q. De eenheidsbelasting dient enkel om de plaats van de berekende zakking te bepalen. (Zie dat boek voor afleiding)