Plaats-tijd diagram met formule versnelling

[PWS_V6]

Wow, bedankt!

Maar, dat uitrekenen van die integraal is wat te moeilijk voor mij.

Misschien dat één van jullie dat nog kan oplossen (met een programma ofzo?).

Daarnaast heb ik, toen ik die formule heb afgeleid, de tweede wet van Newton in de volgende vorm gebruikt:

\(F = ma + v(dm/dt)\)

Ik heb geen idee of dit er nog toe doet, maar ik vermeld het maar even.

Daarnaast zou ik ook nog graag een "simpel" trucje met een spreadsheet (Excel) op prijs stellen maar dat ter zijde (volgens de bron; Since this cannot be solved directly for the position as a function of time, a numerical method, such as a spreadsheet is required. It's tractable with a spreadsheet.).

[eendavid]

De eerste integraal kan eenvoudig worden uitgerekend. Maar de tweede integraal niet. Je hebt nood aan elliptische functies. Deze kan je numeriek berekenen, maar ik raad je af om zo te werken (tenzij je met een wiskundepaket kan werken dat de integraal numeriek kan berekenen is het inderdaad eenvoudiger (en zeker meer verhelderend) om in een spreadsheet de Euler methode te implimenteren). Laat ik het anders stellen:

We want to approximate the solution of the initial value problem

\(y'(t) = f(t,y(t)), \qquad \qquad y(t_0)=y_0, \)

by using the first two terms of the Taylor expansion of y, which represents the linear approximation around the point (t0,y(t0)) . One step of the Euler method from tn to tn+1 = tn + h is

y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n).

bron: wikipedia

Maar je kan je vergelijking opsplitsen in 2 dergelijke vergelijkingen (1 voor x(t) en 1 voor v(t)). Kan je hier mee verder?

@ dirk: je vergeet dy/dt in je integraal. Het is dus inderdaad een integraal over y. Maar de interpretatie van wat Denpos doet is degene die hij zelf zegt: je kan uit energiebehoud vrij eenvoudig v(x) berekenen (in 1D is elke kracht conservatief, en in dit geval kan de potentiaal vrij eenvoudig worden berekend met partieelbreuken). Daaruit x(t) halen is natuurlijk veel moeilijker.

[dirkwb]

@ dirk: je vergeet dy/dt in je integraal. Het is dus inderdaad een integraal over y. Maar de interpretatie van wat Denpos doet is degene die hij zelf zegt: je kan uit energiebehoud vrij eenvoudig v(x) berekenen (in 1D is elke kracht conservatief, en in dit geval kan de potentiaal vrij eenvoudig worden berekend met partieelbreuken). Daaruit x(t) halen is natuurlijk veel moeilijker.

Inderdaad, ik vergeet dy/dt, maar ik zie nog steeds niet waarom dit een integraal over y moet zijn, je integreert naar t, toch?

[Denpos]

Inderdaad, ik vergeet dy/dt, maar ik zie nog steeds niet waarom dit een integraal over y moet zijn, je integreert naar t, toch?

Dat hangt af van je methode... Door juist te gaan vermenigvuldigen met

\(\frac{dy}{dt}\)

aan weers kanten schuif je dit probleem uit de weg en moet je integreren over y.

En dan is zoals david zegt, het moeilijkste de 2e integraal te berekenen om x(t) te krijgen.

[eendavid]

substitutieregel

[PWS_V6]

(...)

om in een spreadsheet de Euler methode te implimenteren.

(...)

Die Euler methode snap ik niet helemaal, in mijn wiskundeboek staat er ook niks over.

Iemand die dat voor mij kan doen en het Excel-bestand kan sturen?

Alvast bedankt voor al jullie moeite!!!

[eendavid]

Misschien moet je verduidelijken wat niet je niet begrijpt aan de Euler methode. Uiteindelijk is het niet meer dan de formule uit de quote toepassen. Of raak je vast bij het opsplitsen van 1 tweede orde vergelijking naar 2 eerste orde vergelijkingen?

[PWS_V6]

Misschien moet je verduidelijken wat niet je niet begrijpt aan de Euler methode. Uiteindelijk is het niet meer dan de formule uit de quote toepassen. Of raak je vast bij het opsplitsen van 1 tweede orde vergelijking naar 2 eerste orde vergelijkingen?

Het hele idee vind ik al lastig.

Ik zou echt niet weten waar te beginnen in een Excel-spreadsheet.

Iemand die de basis daarvan alvast zou willen doen, zal ik zeer dankbaar zijn.

(Ik zit in V6 maar dit gaat toch even iets té ver!)

[eendavid]

Het hele idee is lastig... Eens zien dan.

Stel, je hebt de differentiaalvergelijking

\(\frac{dy}{dt}=\sqrt{y}\)

, met beginvoorwaarde y=1. (oplossing

\(y(t)=(\frac{1}{2}t+1)^2\)

). In rij 1 bereken je y op tijdstip 0. Dus je schrijft 1 in het vakje A1. In rij 2 bereken je y op tijdstip h (kies bijvoorbeeld .01). Daarvoor pas je gewoon de formule uit de quote toe. Schrijf dus in vakje A2 het volgende: =A1+sqrt(A1)*h. En in vakje A3 komt =A2+sqrt(A2)*h. Dat is de Euler methode. Wat is hier 'lastig' aan?

[PWS_V6]

Stel, je hebt de differentiaalvergelijking

\(\frac{dy}{dt}=\sqrt{y}\)

, met beginvoorwaarde y=1. (oplossing

\(y(t)=(\frac{1}{2}t+1)^2\)

).

Ik heb nog eens even terug gekeken naar de afleiding van de formule en daar kom ik het volgende tegen:

\(v^2= \frac{gY(M+\frac{1}{2} L\lambda-\frac{1}{4} Y\lambda)}{-(\frac{1}{4} L\lambda-\frac{1}{4} Y\lambda+\frac{1}{2} M) }\)

Met g, M, L en λ als constantes. Beginvoorwaarde: y=0.

Aangezien

\( v= \frac{dY}{dt} \)

moet dit niet zo heel moeilijk op te lossen zijn, alleen ik snap niet hoe je tot de oplossing van deze differentiaalvergelijking komt (de uitwerking van jouw voorbeeld had ik dan ook niet zelf kunnen verzinnen).

In mijn wiskundeboek staat wel wat over het oplossen van differentiaalvergelijking, maar dat is heel beperkt, het praat ook niet over machten (wortel = ^0,5)).

Het gaat dus om het oplossen van:

\(\frac {dY}{dt} = \sqrt{\frac{gY(M+\frac{1}{2} L\lambda-\frac{1}{4} Y\lambda)}{-(\frac{1}{4} L\lambda-\frac{1}{4} Y\lambda+\frac{1}{2} M) }}\)

Met de beginvoorwaarde y=0 en v=0 en g, M, L en λ als constantes.

Ik zoek hiervan dus de oplossing in de vorm van

\( y(t)=...t \)

.

[eendavid]

De oplossing die er werd bijgeplaatst was slechts ter illustratie (controleren dat de oplossing klopt zal je allicht wel kunnen). Waar het om gaat is de toepassing van de Eulerformule.

Nu je hebt gezien hoe dat gebeurt in dat voorbeeld zou je zelf in staat moeten zijn om het op jouw differentiaalvergelijking toe te passen. Er zijn, vanwege je laatste opmerking, geen complicaties meer mbt het omzetten van een tweede orde differentiaalvergelijking in een eerste orde differentiaalvergelijking: je vergelijking staat reeds in de juiste vorm en de Eulermethode kan rechtstreeks worden uitgevoerd.

[PWS_V6]

Oké, bedankt dat snap ik nu wel.

Maar nu zit ik met het volgende probleem;

Aan het begin is y=0 en als ik dat dan invoer blijft het de hele tijd 0 (ook bij jouw voorbeeld want 0+wortel(0)*0,01=0).

Hoe los ik dat dan weer op?

Mijn Excel-bestand ziet er als volgt uit:

In B1 t/m B4 de waarde van de constantes, in B5 de waarde van h en in A7 staat de waarde van y aan het begin (die is dus 0).

Als ik nu in A8 het volgende zet;

=A7+WORTEL(($B$1*A7*($B$2+0,5*$B$3*$B$4-0,25*A7*$B$4))/(-(0,25*$B$3*$B$4-0,25*A7*$B$4+0,5*$B$2)))*$B$5

...komt er 0 uit (en ook als ik dit 'kopieer' naar A9 en verder)!

[eendavid]

Dat kan je niet oplossen, dat is eenvoudigweg de correcte oplossing van de differentiaalvergelijking uit post #40. Deze correspondeert duidelijk niet met deze uit post #5.

[PWS_V6]

Dat kan je niet oplossen, dat is eenvoudigweg de correcte oplossing van de differentiaalvergelijking uit post #40. Deze correspondeert duidelijk niet met deze uit post #5.

Het klopt wel met post #5, want

\(m=\lambda*L\)

(en voor de duidelijkheid

\(y=Y\)

). Als je dit toepast klopt het wel (#40 differentiëren en dan vereenvoudigen).

Ik moet voor het begin dus gewoon y=0,000001 kiezen ofzo? Anders is het namelijk niet op te lossen. Dit lijkt me dan de beste oplossing.

En bedankt voor alle hulp.

[eendavid]

Ik begrijp dat beide formuleringen equivalent zijn ALS

\(y\neq 0\)

. Als y=0, dan niet, omdat in de afleiding van #40 naar #5 0 gedeeld wordt door 0. Bekijk het anders: je hebt een vergelijking die de snelheid voorschrijft. Als y = 0 zegt deze vergelijking dat de snelheid 0 is. Maar dan blijft y=0 zodra y ooit = 0 wordt. Of bekijk het nog anders: is het functievoorschrift y(t)=0 een oplossing van #40? En van #5?