Complex hilbert space

[dirkwb]

2 560 keer bekeken

Kan iemand me op weg helpen? Ik weet dat per definitie dat als

\( g \in H \)

dan

\( g = \sum_n (g,f_j)f_j \)

[PeterPan]

Ik heb nooit van BL gehoord, maar ik kan wel raden wat er bedoeld wordt.

Het probleem is vrij triviaal.

Bestaat er een orthonormaal stelsel?

Dan kun je

\(Af\)

schrijven als een lineare combinatie in die basiselementen.

Neem dan het inproduct met elk van de basiselementen, en de coefficienten rollen er als vanzelf uit.

Wat is

\((Af,f_i)\)

?

[dirkwb]

Ik heb nooit van BL gehoord, maar ik kan wel raden wat er bedoeld wordt.

Bounded linear space.

Bestaat er een orthonormaal stelsel?

Dan kun je

\(Af\)

schrijven als een lineare combinatie in die basiselementen.

\(Af = \sum_{j=1}^n <Af,f_j>f_j = \sum_{j=1}^n <f,A^* f_j>f_j = \sum_{j=1}^n <f,g_j>f_j \)

Dus

\(g_j =A^*f_j\)

, j=1,...,n

Wat is

\((Af,f_i)\)

?

Neem

\(h \in H\)

dan

\( <Af,h> = \left< \sum_{j=1}^n <f,g_j>f_j ,h \right> =\sum_{j=1}^n <f,g_j><f_j,h> =\sum_{j=1}^n <f,g_j><f_j,h> =\left< f, \sum_{j=1}^n \overline{ <f_j,h > }g_j \right> \)

\( =\left< f,\sum_{j=1}^n { <h, f_j > }g_j \right>\)

Dus

\( A^*h = \sum_{j=1}^n { <h, f_j > }g_j \right> \)

Correct?

\(A^*\)

is eindig dimensionaal omdat hij opgebouwd wordt uit

\( Span \{ g_1,...,g_n \} \)

[PeterPan]

\(10^+\)

.

Onderdeel b is neem ik aan nu geen probleem meer.