Probleem bij afleiding acceleratie in een roterend coord.stelsel

[BarryVos]

In mijn mechanicaboek wordt een afleiding gegeven voor acceleratie in roterende coordinatenstelsels. Er is tussenstap die ik echter niet begrijp.

Er wordt eerst afgeleid dat

\(v=v'+\omega\times r'\)

ofwel

\(\left( \frac{dr}{dt}\right) _{fixed}=\left( \frac{dr'}{dt}\right) _{rot}+\omega\times r'\)

Het accent geeft vectoren aan in het roterende stelsel. Dan komt de voor mij onbegrijpelijke redenatie:

Dit geldt niet alleen voor de plaatsvector maar voor elke vector, dus:

\(\left( \frac{dQ}{dt}\right) _{fixed}=\left( \frac{dQ}{dt}\right) _{rot}+\omega\times Q\)

In het bijzonder geldt dit ook voor de snelheidsvector:

\(\left( \frac{dv}{dt}\right) _{fixed}=\left( \frac{dv}{dt}\right) _{rot}+\omega\times v\)

Hier wordt dan aan de rechterkant substitutie uitgevoerd volgens

\(v=v'+\omega\times r'\)

zodat de schijnkrachten tevoorschijn komen.

Wat ik niet begrijp is waarom de accenten zomaar wegvallen. Waarom worden de vectoren in het roterende stelsel ineens vervangen door vectoren in het inertiaalstelsel?

Het boek is trouwens 'Analytical Mechanics' van Fowles en Cassiday.

[eendavid]

Ik begrijp je verwarring. Je moet een duidelijk onderscheid maken tussen de vector enerzijds, en zijn componenten anderzijds. In de vergelijkingen die je schrijft staat in het linkerlid: wat is de afgeleide naar de tijd van de vector Q (die men berekent door de componenten tov een vaste basis af te leiden naar de tijd)? Deze vector is een grootheid die onafhankelijk is van de specifieke basis waarin wordt ontwikkeld. Echter, door het continu veranderen van basis, kan je deze in een roterend stelsel niet zomaar berekenen door de afgeleide te nemen van de componenten naar de tijd. Je hebt nood aan een corrigerende term. In het rechterlid staat dus dezelfde vector Q, enkel ontwikkeld ten opzichte van een andere basis.

In je derde vergelijking berekent men de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd. Terug moet men in het rechterlid dezelfde vector v schrijven (dat is: ontwikkeld ten opzichte van een andere basis). Voor het geval v merk je dan op dat deze vector geschreven kan worden in termen van de afgeleide naar de tijd van de componenten van r ten opzichte van de roterende basis. Het is toegegeven een eerder subtiele manipulatie, maar dat is natuurlijk precies haar kracht. Probeer dus de afleiding van de eerste vergelijking te plaatsen in het licht van de eerste paragraaf.

[BarryVos]

Klopt het dus als ik zeg dat het erop neerkomt dat in het geval van v, zowel r als r' gebruikt mag worden? Dus

\(\left( \frac{dr}{dt}\right) _{fixed}=\left( \frac{dr'}{dt}\right) _{rot}+\omega\times r'=\left( \frac{dr}{dt}\right) _{rot}+\omega\times r\)

Dat is namelijk de voor mij schijnbare contradictie. Gevoelsmatig zou dit wel eens kunnen kloppen. Ik ga maar eens wat uittekenen:)

[eendavid]

Wel r en r' zijn dezelfde vector. Alleen zijn de componenten uitgedrukt tov een andere basis. De formule relateert de afgeleiden van dezelfde vector tov een verschillende basis. Dus als je precies dezelfde vertaling gebruikt voor v en v' ben je goed bezig. Maar let dan op:

\(v'\neq \left(\frac{dr'}{dt}\right)_{rot}\)

[BarryVos]

Juist, ik denk dat ik het begrijp. r en r' duiden dezelfde vector aan, maar dat is niet het geval bij v en v', omdat deze tijdsafgeleiden zijn (van de positievector).

Het probleem was dat ik niet inzag dat r en r' daadwerkelijk dezelfde vector zijn en dus hetzelfde resultaat opleveren als ze worden ingevoerd in de vergelijking. Het is altijd zo eenvoudig achteraf^^

Dank voor de hulp!

[eendavid]

Het is altijd zo eenvoudig achteraf^^

Daar zeg je zoiets .