Wat een mooie vraag:D
De snelheid van het goedje zal ongeveer het volgende zijn:
\(\frac{1}{2}mv^2=mgh\rightarrow v=\sqrt{2gh}\approx \sqrt{2\times 10\times 300}\approx 77 m/s\approx 280 km/h\)
Dat is een behoorlijke snelheid. Ik zou in ieder geval geen plens water met die snelheid op m'n hoofd willen krijgen.
Hoeveel kracht (en belangrijker, druk) er precies op de pijpleiding wordt uitgeoefend is even wat lastiger uit te rekenen. Door de situatie echter te versimpelen kunnen we misschien wel een redelijke indruk krijgen.
Misschien is het handig om eerst een beetje globaal te kijken wat er gebeurt; De plens water krijgt door de zwaartekracht kinetische energie. Het water zal niet de volledige breedte van de buis bezetten, maar zal zich in de lengte een beetje uitdijen. Onderaan wordt deze 'waterval' gestopt, zodat het water het onderste volume van de buis zal bezetten. Bij deze laatste harmonicabeweging zal de voor ons relevante kracht worden ontwikkeld.
De watermassa zal in eerste instantie, aan de top, de rioolbuis volledig vullen en zodoende een cilindervorm aannemen. De watercilinder heeft een radius
\(r\)
, lengte
\(l\)
en massa
\(m\)
. De cilinder wordt met de doorspoelsnelheid
\(v_s\)
verplaatst.
Stel nu dat de watercilinder aan de rand van de 300 meter lange rioolbuis staat. Hij wordt hier dan met de doorspoelsnelheid overheen gedrukt. Dat betekent dat op het moment dat het laatste beetje water over de rand is gegaan, het eerste beetje water al een beetje versneld is door de zwaartekracht. Als we de cilinder in plakjes van
\(dm\)
'snijden', dan zal het eerste plakje
\(-gdt\)
sneller zijn dan het volgende plakje enz. Anders gezegd, de watercilinder blijft wel homogeen, maar rekt langzaam uit. Om uit te rekenen hoe snel de cilinder precies uitrekt, berekenen we de snelheid van het eerste plakje als het laatste plakje net over de rand is. Ofwel:
\(v_{rek}=at=\frac{-gl}{v_s}\)
We zouden nu graag weten hoe ver de cilinder is uitgerekt als het net de bodem heeft bereikt. Deze afstand is
\(s_{rek}=v_{rek}t\)
. We rekenen t uit volgens de relatie
\(y=-\frac{1}{2}gt^2+v_{rek}t+y_0=0\rightarrow t=\frac{\frac{gl}{v_s}-\sqrt{\frac{g^2l^2}{v_s^2}+2gy_0}}{-2g}\)
We weten dat
\(y_0=h-l\)
dus
\(s_{rek}=v_{rek}t=\frac{-gl}{v_s}\frac{\frac{gl}{v_s}-\sqrt{\frac{g^2l^2}{v_s^2}+2g(h-l)}}{-2g}=\frac{l\left( gl-\sqrt{g(2h+l(\frac{gl}{v_s^2}))}v_s\right)}{2v_s^2}\)
Als de cilinder de bodem bereikt dan zal hij weer ineenkrimpen en tijdens deze beweging wordt alle snelheid uit de cilinder gehaald:
\(\Delta T=-mgh\)
Vanuit het oogpunt van het massamiddelpunt vindt deze beweging (de ineenkrimping) zich plaats over een afstand van
\(\Delta s=s_{rek}/2\)
Als we dan aannemen dat de kracht die tijdens de ineenkrimping uitgevoerd wordt constant is (wat in principe gewoon juist is, in deze versimpelde situatie) dan geldt:
\(F=\Delta T/\Delta s=\frac{-4mghv_s^2}{l\left( gl-\sqrt{g(2h+l(\frac{gl}{v_s^2}))}v_s\right)}\)
De druk wordt idealiter uitgeoefend op het stuk buis dat onder de cilinder ligt. Dat heeft een oppervlakte
\(s=\pi r^2\)
De druk is dan
\(p=F/s=\frac{-4mghv_s^2}{\pi r^2l\left( gl-\sqrt{g(2h+l(\frac{gl}{v_s^2}))}v_s\right)}\)
Bij gebrek aan een rekenmachine reken ik uit dat dit ongeveer 1.000.000 N/m^2 oplevert bij r=0,10 m en Vs=5 m/s. (
\(l=\frac{0,008m^3}{pi*r^2})\)
Dat is dus ongeveer 600.000 kg verdeelt over een vierkante meter of 600.000*3,14*0,10^2=18.000 kg die op de bodem van de pijp drukt. Dat lijkt me een beetje te veel van het goede. Ik denk dat de grootste aanname is dat al het vallende water druk op de bodem levert. Of ik heb fouten in de berekeningen gemaakt, ook goed mogelijk. Ik kijk er later nog wel even weer naar:)
/edit: of luchtweerstand vergeten, ook erg handig...
wegens naar beneden vallende drollen.... 
